什么是码间串扰

奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究（篇一）:什么是码间串扰

写在前：

  本篇是《奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究》的篇一，基础知识部分。介绍了码间串扰的基本概念和原理。篇二介绍了码间串扰的解决，参见基带传输系统的奈奎斯特准则与奈奎斯特速率。

  为了探究信道上可行的码元速率，我们首先要从码间串扰（inter-symbol interference，ISI）谈起。

  对于信道，我们期待它是理想的对原信号不产生任何变形，其（归一化）频率响应$C(f)$C(f)被期待为处处为1，即相应的时域上，其（归一化）冲击响应为$c(t)=\delta(t)$c(t)=δ(t)。

  但实际上，信道通常只在某个给定的带宽内保持平坦，其（归一化）频率响应不是对所有频率$f$f都恒为1。更进一步，我们不妨广泛地考虑任何形式的非理想信道，它们的频率响应表现为$C(f)\neq1$C(f)̸​=1，相应的冲激响应记为$c(t)\neq\delta(t)$c(t)̸​=δ(t)，如图1中所示的信道。

图1 码间串扰简单示意

  从图1可以清楚地反映出ISI的物理意义是“码元彼此间的串扰”。码间串扰是由于系统传输总特性不理想，导致前后码元的波形畸变、展宽，并使前面波形出现很长的拖尾，蔓延到当前码元的抽样时刻上，从而对当前码元的判决造成干扰。

  下面我们进行更为具体的探讨：

  数字脉冲幅度调制（PAM）传输系统的整体框图如图2所示。其中，发送滤波器的传递函数为$G_T(f)$GT​(f)，冲激响应为$g_T(t)$gT​(t)；接收滤波器的传递函数为$G_R(f)$GR​(f)，冲激响应为$g_R(t)$gR​(t)。

图2 数字PAM传输系统的整体框图

  我们发现从${ a_n }$an​到$\hat{a}_n$a^n​的传输过程中，各个脉冲信号经过信道与接收滤波器后可能发生不期望的变形，从而影响接收。下面仔细分析这个问题。

  容易看到，信道$C(f)$C(f)的影响完全反映在$y(t)$y(t)的抽样值$r_n$rn​中，而经过接收滤波器后的输出信号为：$y(t)=\Bigg\{\Bigg[\sum_{k=-\infty}^\infty a_k\delta(t-kT_s)\Bigg]\ast g_T(t)\ast c(t)+n(t)\Bigg\}\ast g_R(t)$y(t)={[k=−∞∑∞​ak​δ(t−kTs​)]∗gT​(t)∗c(t)+n(t)}∗gR​(t)
令$y_n(t)=n(t)\ast g_R(t)$yn​(t)=n(t)∗gR​(t)，并令数字基带传输系统总的冲激响应为$h(t)=g_T(t)\ast c(t)\ast g_R(t)$h(t)=gT​(t)∗c(t)∗gR​(t)
相应地，总的频响函数为$H(f)=G_T(f)C(f)G_R(f)$H(f)=GT​(f)C(f)GR​(f)
于是$y(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_k\delta(t-kT_s)\ast h(t)+y_n(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_kh(t-kT_s)+y_n(t)$y(t)=k=−∞∑∞​ak​δ(t−kTs​)∗h(t)+yn​(t)=k=−∞∑∞​ak​h(t−kTs​)+yn​(t)
记抽样定时为$t=nT_s+t_0$t=nTs​+t0​，得到抽样值$r_n=y(nT_s+t_0)$rn​=y(nTs​+t0​)。其中，$t_0$t0​是相对每个时隙开始处的某个固定的时延，为了叙述简明，下面的讨论中不妨将其省略。于是$r_n=y(nT_s)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_kh(nT_s-kT_s)+y_n(nT_s)$rn​=y(nTs​)=k=−∞∑∞​ak​h(nTs​−kTs​)+yn​(nTs​)$\ \ \ \ \ \ \ \ =a_nh(0)+\sum_{m=-\infty\ m\neq 0}^\infty a_{n-m}h(mT_s)+y_n(nT_s)$        =an​h(0)+m=−∞ m̸​=0∑∞​an−m​h(mTs​)+yn​(nTs​)
式中，令$m=n-k$m=n−k。式中的第一项对应所期望接收到的$a_n$an​符号（不妨认为$h(t)$h(t)是归一化的，即$h(0)=1$h(0)=1）；第二项由$a_n$an​符号以外的其他符号构成，是其他符号对当前符号$a_n$an​的干扰，称为码间串扰或码间干扰（inter-symbol interference，ISI）；第三项为噪声的影响。
  码间干扰反映的是基带系统传递函数的不良，其中包括信道的部分，也包括接收与发送滤波器等部分。其中的ISI对应项有：$\sum_{m=-\infty\ m\neq 0}^\infty a_{n-m}h(mT_s)=\cdots+a_{n-2}h(2T_s)+a_{n-1}h(T_s)+a_{n+1}h(-T_s)+a_{n+2}h(-2T_s)+\cdots$m=−∞ m̸​=0∑∞​an−m​h(mTs​)=⋯+an−2​h(2Ts​)+an−1​h(Ts​)+an+1​h(−Ts​)+an+2​h(−2Ts​)+⋯
可见，由于$m\neq0$m̸​=0时的$h(mT_s)\neq0$h(mTs​)̸​=0，前后的码元对第$n$n个码元的接收造成干扰。或者从传输各个码元时引起的脉冲$a_nh(t-nT_s)$an​h(t−nTs​)的角度观察，如图3所示，由于传输后的脉冲存在前导与拖尾，它在完成传递$a_n$an​的同时也不同程度地干扰了前后码元的接收，图3清楚地反映出ISI的物理意义是“码元彼此间的串扰”。（关于前导干扰这一点，我考虑真实情况下的系统是因果系统，不存在前导干扰，这里书本上应该只是在理论分析）

图3 码元彼此间串扰示意图

  因为前后码元是随机的，所产生的码间串扰也是随机的，如果它足够大就可能直接引起误码，及时它本身不太大，也会增加噪声产生误码的机会。而且，码间串扰的影响无法通过增加信号功率等方法来减弱。

  那么码间串扰如何解决。参见下一篇文章：基带传输系统的奈奎斯特准则与奈奎斯特速率。