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首先，从数学角度来讲，对于一个最简单的情形而言，Legendre变换指的是如下图所示：
(图片来自wikipedia:Legendre transformation)
对于一个凸函数y=px-f(x)（其中f(x)为凹函数,且是可微的），若令其值最大，则对其求导让右边为零，满足
p=df/dx,这样就从x到p建立起一个映射,即x到曲线斜率的映射。
若x=g(p)，即p到x的逆映射存在，因为f(x)是一个凹函数，其切线斜率是与曲线上的点一一对应的。
由此可以定义一个新的函数与f相对应:f^*(p)=<g(p),p>-f(g(p))
这个函数是以p为自变量的函数。这个变换也就是把原来在的f对应于一个它的dual space上的f^*。
总而言之，它就是一种换一种方式描述同一个对象、且保证信息不丢失的对应方式。
分析力学中的Legendre变换就是把刻画一个力学体系的动力学行为的表述方式从用Lagrangian变为Hamiltonian,对同一个体系从不同的角度（由位置与速度变为位置与动量）去表述。你说的没错，Lagrangian是在configuration space中的表述，而Hamiltonian所在的辛流形就是phase space.
而热力学里的Legendre变换则是把体系用内能来描述转变为用焓来表述，所描述的东西是一样的，只是各自在不同情况下有各自的便捷之处。
Lagrange力学~切丛~构型空间(configuration space=tangent bundle on space)~广义速度~中学物理速度
通过Legendre变换得到
Hamilton力学~余切丛~相空间(phase space=cotangent bundle on space)~广义动量~中学物理动量
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来源：知乎
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从Legendre变换到Fenchel共轭
Fenchel共轭的研究，是对Legendre变换的一个扩展（参考 " Legendre变变变 " ）， 突破了Legendre对凸可导的限制。
对于不可以求导的， 没有导数 :
另外一种情况下， 就是对于非凸的情况， 导数不唯一:
那么， Fenchel是怎么解决这个问题的呢？ 一方面要兼容Legendre的导数支撑面， 另外一方面要让不可导或者非凸情况下， 具有函数的唯一性。
Fenchel利用了罗尔定理到中值定理中描述的极值和导数的关系。用极大或者极小值来隐含导数的关系。
另外极值， 在非凸情况下的线性外包络是凸函数,
这样使得Fenchel共轭函数的性质非常好。 当然Legendre肯定不是故意忽视这个方面的， 而是在当时物理的发展应用下， 没有这个需求。