有限元微分方程求解方法，能量原理，瑞利里兹法，伽辽金法（曾攀有限元分析）

1 ，微分方程求解方法

$\qquad以一个承受水平均布载荷的拉杆，计算其位移场u_(x)为例，\\ 介绍有限元微分方程常用的求解方法。$以一个承受水平均布载荷的拉杆，计算其位移场u(​x)为例，介绍有限元微分方程常用的求解方法。

1.1 有限差分法

$微分方程中的高阶项用高阶差商代替，高阶差商使用低阶差商层层嵌套表达\\ 最终微分方程的高阶项\frac{d^nu_{(x)}}{dx^n}用n阶差商替代，\\ n阶差商u[x_0,x_1,\ldots,x_n]通过低阶差商层层嵌套，最终由其邻域内因变量的函数值表达\\ 而我们要计算的恰恰就是这些因变量的值即u_(x)，各点位移值u_0,u_1,u_2,u_4,u_5$微分方程中的高阶项用高阶差商代替，高阶差商使用低阶差商层层嵌套表达最终微分方程的高阶项dxndnu(x)​​用n阶差商替代，n阶差商u[x0​,x1​,…,xn​]通过低阶差商层层嵌套，最终由其邻域内因变量的函数值表达而我们要计算的恰恰就是这些因变量的值即u(​x)，各点位移值u0​,u1​,u2​,u4​,u5​
$\begin{aligned} \frac{d^2u_{(x)}}{dx^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \\ \frac{\frac{u_0-u_1}{\Delta{l}}-\frac{u_1-u_2}{\Delta{l}}}{\Delta{l}}+\frac{p}{EA}=0\quad ;\Delta{l}=\frac{L}{5}\\ \end{aligned}$dx2d2u(x)​​+EAp​=0ΔlΔlu0​−u1​​−Δlu1​−u2​​​+EAp​=0;Δl=5L​​
$\begin{cases} \frac{u_0-2u_1+u_2}{\Delta{l}^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \frac{u_1-2u_2+u_3}{\Delta{l}^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \frac{u_2-2u_3+u_4}{\Delta{l}^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \frac{u_3-2u_4+u_5}{\Delta{l}^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Δl2u0​−2u1​+u2​​+EAp​=0Δl2u1​−2u2​+u3​​+EAp​=0Δl2u2​−2u3​+u4​​+EAp​=0Δl2u3​−2u4​+u5​​+EAp​=0​

1.2 试函数法

2 ，平面简支梁受均布力的挠度

2.1 伽辽金加权残值法

2.2 残值最小二乘法

2.3 虚功原理

2.4 最小势能原理

能量原理，伽辽金加权残值法 两者关系

$已满足位移边界条件4，应用2，3，\\ 将最小势能\Pi=U-W中的应力应变全部用位移项代替\\ 此时\Pi即伽辽金法的控制方程，目标是找到基于全域的试函数u，且其满足位移边界条件4$已满足位移边界条件4，应用2，3，将最小势能Π=U−W中的应力应变全部用位移项代替此时Π即伽辽金法的控制方程，目标是找到基于全域的试函数u，且其满足位移边界条件4