网络流学习笔记（1）：最大流及其反向边详解

何为最大流？

把计算机当做顶点，连接计算机的通信电缆当做边，就可以把该网络就可以把这个网络当作一个有向图来考虑了。图中的每条边$e\in E$e∈E都有对应的最大可能的数据传输量$c(e)$c(e),这样，就可以把问题转为如下形式。

• 记每条边对应的实际数据传输量为$f(e)$f(e)
• 传输量应该满足以下限制$0\leq f(e)\leq c(e)$0≤f(e)≤c(e)，即通信电缆上传输的数据，不能比传输容量大，否则容易荡机。
• 根据物质守恒定律，除了$s,t$s,t两个点只负责发送或者接受，其他机器的收发数据量应该是相等的。
• 目标是最大化从$s$s发出的数据量。

我们称使得传输量最大的$f$f为最大流，而求解最大流的问题为最大流问题。此外，我们称$c$c为边的容量，$f$f为边的流量，$s$s为源点(source), $t$t为汇点(sink)那么，这个问题应该如何求解呢？首先考
虑下面这样的贪心算法。

贪心策略

• 找到一条$s$s到$t$t的所有路径都满足$f(e)<c(e)$f(e)<c(e)的边的路径，注意这里是严格的小于。因为对于一个边，如果$f(e)=c(e)$f(e)=c(e)，那么他已经满了，不能作为一条新的路径使用。
• 如果不存在满足条件的路径，则结束算法。否则，沿着该路径尽可能地增加$c(e)$c(e)，返回第(1)步。
  将该算法用于样例，得到以下的结果
  
  但是这样得到的结果真的是最大流嘛？事实上，如果采用下图所示的方案，可以得到更优的结果，于是可以知道这个贪心算法是不正确的。
  
  那么，贪心算法得到的结果是10, 而上图得到的结果是11。为了找出二者的区别，不妨来看看它们的流量的差。
  

反向边的作用，为什么需要反向边？

通过对流量的差的观察可以发现，我们通过将原先得到的流给推回去（图中的-1部分），也就是说给流一个反悔的机会，此时表面上$s-2-1-3-t$s−2−1−3−t形成了一条新的路径，最大流增加了1，但是仔细思考一下，他到底是怎么运作的呢？难道真的是$2\rightarrow 1$2→1的一个流嘛？可是$2\rightarrow 1$2→1事实上并没有路径。

实际上，我们分别考虑这个推回去的流对$1$1和$2$2他们的影响，对$2$2来说，这退回的从$1\rightarrow 2$1→2的流，由$s\rightarrow2$s→2的这个流进行替代，因此流向$2$2的流其实没有变化，因此从$2\rightarrow t$2→t的最大流没有变化，但是对$1$1而言，给它腾出来了一个单位的流，而且这个流刚好可以从$1-3-t$1−3−t流到终点（因为$s-2-1-3-t$s−2−1−3−t形成了路径，那么其中的一部分肯定也是一条可以使用流量$1$1的路径）从$1-3-t$1−3−t流向终点，因此最大流$+1$+1，这就是反向边所起的作用，往往可以从该反向边将路径分成两部分分别进行分析。再分析一个简单的例子

第一步我们得到$1-2-4-6$1−2−4−6这条路径，然后更新，如果没有反向边，那就打卡下班，得到一个错误答案（实际上1-2-5-6,1-3-4-6是最优的）。加上反向边，

我们又得到了$1-3-4-2-5-6$1−3−4−2−5−6，细品，也就是3代替2将10个单位的流注入了4，因此$1-3-4-6$1−3−4−6形成了新的流，而反悔的10单位的流回到2节点，又经过$5-6$5−6流向终点，也就是$1-2-5-6$1−2−5−6也形成了一个新的流，并且得到了更好的答案。
我们将由反向边和正常边组成的网路称作为残余网络，并称残余网络上$s\rightarrow t$s→t的路径为增广路径。

Ford-Fulkerson算法

我们可以试着在之前的贪心算法中加上上面的操作，将算法进行如下改进。

• 只利用满足$f(e)<c(e)$f(e)<c(e) 的$e$e或者满足$f(e)>0$f(e)>0的$e$e对应的反向边$rev(e)$rev(e), 寻找一条$s$s到$t$t路径。（边上的$f(e)$f(e)其实也就是反向边的容量，$f(e)>0$f(e)>0也就是说反向边可以用）。
• 如果不存在满足条件的路径，则结束。否则，沿着该路径尽可能地增加流，返回第(1)步。

再将改进后的贪心算法运用于样例。显然就可以了

下面是一个Ford-Fulkerson算法的邻接表实现的例子。这里没有保存$f(e)$f(e)的值，取而代之的是直接改变$c(e)$c(e)的值。

数据结构

给图中新增边

注意为什么对$from$from而言他的反向边是这个$G[to].size$G[to].size，如果$G[to].size$G[to].size是1，那么$G[to]$G[to]下一步会push这条反向边进入他的vector，索引值恰好是1。$from<=>to$from<=>to这两条边互为反向边，因此$G[to]$G[to]的反向边索引是$G[from].size()-1$G[from].size()−1

DFS寻找增广路径

• 将$f$f作为参数，记录该路径上的最大流量，一旦到达终点就可以返回该值。
• 更新容量时记着也要更新反向边的容量。
• 每找到一条增广路径，dfs函数就会返回，used只是在寻找一条增广路经时作为标记使用的。

求解最大流

不断地寻找增广路径，used数组每次都要重新初始化，