矩阵基础知识

文章目录

• 1.矩阵的一些基础知识
• 1.1 矩阵只有乘法
• 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘：
• 1.3 单位向量
• 1.4 正交矩阵
• 1.5 线性无关和线性相关的向量
• 1.6 矩阵的逆
• 1.7 对称矩阵
• 1.7 矩阵的秩（rank）
• 1.8 伴随矩阵
• 1.9 矩阵的零空间
• 1.10 矩阵的扩展基定理

1.矩阵的一些基础知识

1.1 矩阵只有乘法

1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘：

（1）点乘就是两个对应向量值相乘
：得到的是一个数值

• 高中知道两个向量的长度解法：
  $a · b = |a||b|cos<a,b>$a⋅b=∣a∣∣b∣cos<a,b>
• 如果给出两个向量的值：
  $a=[a_1,a_2,...,a_n] \\ b=[b_1,b_2,...,b_n]$a=[a1​,a2​,...,an​]b=[b1​,b2​,...,bn​]

则两个向量的内积：
$ab=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$ab=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​

• 学了线性代数之后，发现其实跟高中的向量表示方法是不同的，通常一个向量其实是列向量，即是：

$a= \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \\ b= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$a=⎣⎢⎢⎢⎡​a1​a2​⋮an​​⎦⎥⎥⎥⎤​b=⎣⎢⎢⎢⎡​b1​b2​⋮bn​​⎦⎥⎥⎥⎤​
则两个列向量的乘积通常表示为：

$a^{\mathrm{T}}b = a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$aTb=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​

（2）叉乘得到是一个向量：
$|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>$∣向量c∣=∣向量a×向量b∣=∣a∣∣b∣sin<a,b>

1.3 单位向量

向量模为1的向量被称为单位向量。模的计算公式为：
$a=[a_1,a_2,...,a_n] \\ |a| = \sqrt(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$a=[a1​,a2​,...,an​]∣a∣=(​a12​+a22​+...+an2​)

1.4 正交矩阵

$AA^{\mathrm{T}}=E$AAT=E

• 其中$E$E为单位矩阵
• 正交矩阵有几个性质：

（1）A的各行是单位向量且两两正交(两个行向量的内积为0)

（2）A的各列是单位向量且两两正交

（3）A的各行（或者列）是模为1的向量

比如：

1.5 线性无关和线性相关的向量

在向量空间V的一组向量$A=[a_1,a_2,...,a_n]$A=[a1​,a2​,...,an​]，如果存在不全为零的数$k_1, k_2, ···,k_m$k1​,k2​,⋅⋅⋅,km​, 使

$k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n = 0$k1​a1​+k2​a2​+...+kn​an​=0

则称向量组A是线性相关的，否则数$k_1, k_2, ···,k_m$k1​,k2​,⋅⋅⋅,km​全为0时，称它是线性无关。

1.6 矩阵的逆

$AB=E$AB=E

AB=E，则说B为A的逆矩阵

1.7 对称矩阵

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵

1.7 矩阵的秩（rank）

（1）n阶行列式的值怎么求解？

n阶行列式求解方法

• 代数余子式：

• 利用代数余子式求解n阶行列式：

（2）r阶行列式

r阶行列式就是对一个矩阵画r条横线，r条竖线，这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表，这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。

（3）矩阵的秩

-定义：矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。

• 最简单求矩阵的秩的方法是：化简成上三角或者下三角的行列式，然后数出非零行（或列）的个数。具体方法：https://blog.csdn.net/edward_zcl/article/details/90177159

1.8 伴随矩阵

矩阵中的全部元素的代数余子式所构成的矩阵就为伴随矩阵。

方阵$A=(a_{ij})_{n \times n}$A=(aij​)n×n​的各元素的代数余子式$A_{ij}$Aij​所构成的如下矩阵$A^*$A∗:

$\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & ... & A_{1n} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix}$A11​⋮An1​​A12​⋮An2​​.........​A1n​⋮Ann​​

1.9 矩阵的零空间

如果存在矩阵$A$A，要找到它的零空间，须找到所有向量$v$使得$Av=0$Av=0.

零空间的计算方法：
https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/9591191.html

1.10 矩阵的扩展基定理

可以由一组正向量组扩展成正交基：
https://wenku.baidu.com/view/8ae3706e58fafab069dc02f8.html