一、堆
1、堆是一棵完全二叉树，这棵二叉树需要满足堆序：任何分支结点（即除去叶结点所剩余的结点）的值都大于等于（或小于等于）其左右子结点的值。
2、一般用列表来表示堆（Python中的列表下标从0开始），i结点的父结点位置为(i-1)//2(取整)，i结点的左右子结点位置为2*i+1和2*i+2。
3、如果堆序是小元素优先，则构造出来的称为‘小顶堆’（小元素在上）；如果堆序是大元素优先，则构造出来的称为‘大顶堆’（大元素在上）。 以下的内容默认为小顶堆。
二、插入元素
向堆中插入元素需要用到‘向上筛选’来使得新插入的元素符合堆序。插入元素可以在O(log n)时间内完成。
向上筛选大体步骤为：将待插入元素首先插入到二叉树最下层最右边的新的叶结点位置，然后，比较插入元素与其父结点的大小，如果插入元素值较小，则交换两个元素的位置，重复次操作，不断向上进行比较，直到某一父结点的元素值小于插入元素的值，或者插入元素已经到达根结点为止。
三、弹出堆顶元素
弹出堆顶元素后，剩余的元素已经不再满足堆序。因此需要通过‘向下筛选’来使得剩余的元素满足堆序。其时间复杂度也为O(log n)。
向下筛选大体步骤为：在弹出堆顶元素后，将堆中的最后一个元素e放在堆顶；然后比较堆顶元素e（父结点）与其两个左右子结点的大小，将三者中最小的元素放置在父结点位置。如果左子结点最小，则交换父结点与左子结点中的元素（这样e就被下移了一层），这个左子结点又有以其为父结点的子树，然后重复进行相同的比较和交换步骤，直到元素e在某次比较中是三者中最小的那个，则说明当前已经满足堆序，停止；或者元素e已经被下移到了最后一层，此时也满足堆序了，停止。
四、时间空间复杂度
基于堆实现的优先队列，在创建时需要O(n)的时间复杂度。插入和弹出的时间复杂度为O(log n)。此外，插入时第一步是在列表的最后加一个元素，可能导致列表替换元素存储区，此时就会出现O(n)的最糟糕情况。所有的操作都只用了一个简单变量，没有其他的结构，所以空间复杂度是O(1)。
以下是代码实现：
class HeapPriQueueError(ValueError): pass class Heap_Pri_Queue(object): def __init__(self, elems=[]): self._elems = list(elems) if self._elems: self.buildheap() def is_empty(self): return self._elems is [] def peek(self): #取出堆顶元素，但不删除 if self.is_empty(): raise HeapPriQueueError("in pop") return self._elems[0] def enqueue(self, e): #在末尾增加一个元素 self._elems.append(e) # 此时，总的元素的长度增加了1位 self.siftup(e, len(self._elems) - 1) def siftup(self, e, last): # 向上筛选 elems, i, j = self._elems, last, (last - 1) // 2 # j为last位置的父结点 while i > 0 and e < elems[j]: # 如果需要插入的元素小于当前的父结点的值 elems[i] = elems[j] # 则将父结点的值下放到其子结点中去 i, j = j, (j - 1) // 2 # 更新i为当前父结点的位置，j更新为当前父结点的父结点的位置 elems[i] = e # 如果i已经更新为0了，直接将e的值赋给位置0.或者需要插入的元素 # 大于当前父结点的值，则将其赋给当前父结点的子结点 def dequeue(self): if self.is_empty(): raise HeapPriQueueError("in pop") elems = self._elems e0 = elems[0] # 根结点元素 e = elems.pop() # 将最后一个元素弹出，作为一个新的元素经过比较后找到插入的位置，以维持栈序 if len(elems) > 0: self.siftdown(e, 0, len(elems)) return e0 def siftdown(self, e, begin, end): # 向下筛选 elems, i, j = self._elems, begin, begin * 2 + 1 # j为i的左子结点 while j < end: if j + 1 < end and elems[j] > elems[j + 1]: # 如果左子结点大于右子结点 j += 1 # 则将j指向右子结点，将j指向较小元素的位置 if e < elems[j]: # j已经指向两个子结点中较小的位置， break # 如果插入元素e小于j位置的值，则为3者中最小的 elems[i] = elems[j] # 能执行到这一步的话，说明j位置元素是三者中最小的，则将其上移到父结点位置 i, j = j, j * 2 + 1 # 更新i为被上移为父结点的原来的j的位置，更新j为更新后i位置的左子结点 elems[i] = e # 如果e已经是某个子树3者中最小的元素，则将其赋给这个子树的父结点 # 或者位置i已经更新到叶结点位置，则将e赋给这个叶结点。 def buildheap(self): end = len(self._elems) for i in range(end // 2 - 1, -1, -1): # 初始位置设置为end//2 - 1。 如果end=len(elems)-1,则初始位置为(end+1)//2-1. # print(self._elems[i]) self.siftdown(self._elems[i], i, end) # print(self._elems) if __name__ == "__main__": temp = Heap_Pri_Queue([5, 6, 8, 1, 2, 4, 9]) print(temp._elems) temp.dequeue() print(temp._elems) temp.enqueue(0) print(temp._elems) print(temp.peek())
五、初始化堆
下面演示如何将无序的列表元素构造成符合堆序的结构（小顶堆）。假设列表初始为[5,6,8,1,2,4,9]。
其初始的堆结构图为：
然后，从下面开始找到第一个非叶子结点，对其进行向下筛选；紧接着，对其余的非叶子结点也依次进行向下筛选，操作完成后，这时得到的结构就是堆序了。
最后得到的这个结构，已经都满足堆序了。
六、用Python中的heapq模块实现的简单的优先队列：
heapq模块的介绍：点击打开链接
from heapq import * class Heap_Pri_Queue(object): def __init__(self, heap=[]): self.heap = heap heapify(self.heap) def enqueue(self, val): heappush(self.heap, val) def dequeue(self): return heappop(self.heap) if __name__ == "__main__": lst = [5, 6, 8, 1] heap = Heap_Pri_Queue(lst) print(heap.dequeue()) #1 heap.enqueue(3) print(heap.heap) #[3, 5, 8, 6]