逻辑证明的基础除了定义，还有公理–逻辑与算法十九
引言
萊布尼兹的片断19和片断20的最后注釋是关于公理的，先给出公理1和公理2的基本内容，然后我们来看莱布尼兹如何看待它的逻辑加所依据的这两个公理。
公理1：B⊕N=N⊕B。逻辑加的交换律
公理2：A⊕A=A。逻辑加的吸收律
一个演绎证明的基础首先是定义，除了定义之外，那就是公理了。莱布尼兹在其晚年发表的一篇论文《数学的形而上学基础》（写于1716年）中，使用三段论，证明一个几乎属于常识的命题，证明之后，接之就讨论了何为证明的基础。
可以用三段论推理来证明“B小于A”这个命题，如果我们有以下两个前提的话。
大前提：所有等于A的一部分的东西，都小于A
小前提：B和A的一部分相等
由此可得结论：
所以，B小于A。
从这个推理过程可以看到些什么呢？莱布尼兹接着说：
我们看到所有的证明都可以归纳为两个无需证明的基础：对于观念的定义和对于原初的等同的命题。例如：B和A是等同的，每一个元素等于它自身，以及无数的其它同类的命题。（《莱布尼兹自然哲学著作选》第55页）
显然，所有那些类似于等同命题的陈述，它们不是定义，而是公理，并不需要事先得到你的证明。作为推理前提的命题，上述三段论的大前提，实际上就是“整体大于部分”这个公理。而这个公理则来自欧几里得的《几何原本》，那就是作为欧几里得平面几何基础的公理5。（《几何原本》李采菊译本第3页）
有了这个证明基础的简单说明，我们来看莱布尼兹如何来注释他在普遍演算中给出的公理1和公理2。
一、依赖符号和符号的操作来建立普遍演算
莱布尼兹要建立的是普遍演算，那么，这种普遍演算依赖什么东西来建立呢？我们刚才谈到的是证明的基础：定义和公理，莱布尼兹在解释他的公理时，先讨论建立理想语言需要什么手段。
普遍的理想形式除了借助符号和对符号的操作来构成组合式的表述之外，别无其它。而组合的发现原则又是多种多样的，由此各种各样的计算模式就产生了。（《符号逻辑概览》第386页）
莱布尼兹的这个普遍演算就算作是计算模式之一，于是，我们在文本中接着就看到了对于普遍演算中公理1和公理2的讨论。
二、公理1和2是置换理论中普遍使用的公理
在这个普遍演算中，莱布尼兹对变分理论（the theory of the variations）本身并没有做什么事情，这种变分理论坚持的是次序的改变。那就是说，这种理论实际上就是置换理论，该理论包含作为交换律的公理1和作为吸收律的公理2。这两个公理几乎可以应用在任何地方，甚至也可以用来合成绝对概念，自然可以称作是普遍的。但在绝对概念那里，你既得不到次序法则，也得不到重复法则。
这里的绝对概念似乎不是后来黑格尔哲学中的绝对精神那样的绝对，它指称的很可能就是存在于自然语言之中，具有观念性质的语词。在这些语词的应用中，当然无法获得交换律和吸收律。但在这些语言的操作之中，我们依旧可以看到这两条公理的影子。
三、算术加和逻辑加的比较，以及使用量度的谨慎
1、公理1的说明
表达观念的绝对概念，比如说温暖和明亮，你也可以交换它们的次序，说成是明亮和温暖。这不就是公理1在观念层面上的运用么？逻辑加的交换律和算术加的交换律，在符号和符号所指称对象的理解上，似乎难以找到容易混淆的地方。因此，很难看到这两种加法在交换律的使用上会有什么差异。
但是，算术加没有吸收律，逻辑加则有一个算术加所没有的吸收律。所以，对于公理2的解读，就比公理1要花费更多的文字。
2、公理2的说明和比较
如果我们说到“温暖的火”或者“白色的牛奶”这样的话语，诗人用他们的想象力，构造出那些时髦华丽的语词之后，用理性这把解刨刀立刻就可以发现，这些因修辞需要而产生的语汇，不过是一些可以过滤掉的冗词而已。白色的牛奶和牛奶相比，几乎就没有任何差别。理性的人-那是在说理性的动物，它是理性的。这个理性的人，也和理性的动物，和人这个词项也几乎没有差别，在人之前加上理性的修饰，依然也是冗词。
当某种给定之物被说成被包含在某物之内时，这个像容器一样的包含物，也许并不存在，但这样的情形可以看作是真的。因为同样对象的逻辑加，等于什么也没有加上，只是在同类重复而已。为了解释这个同类重复在逻辑加中的含义，莱布尼兹用数字相加引申出他逻辑加的意蕴。
当2加2被我们构成4的时候，后面的2所指示的两个和前面的2所指示的两个，必须是不同的两个东西才是构成了4。如果前后两个2它们是相同的东西，逻辑相加并没有新东西产生。这相当于一个人在开玩笑，他是这样来构成六个鸡蛋的，他先数全部3个鸡蛋，然后拿走一个；再数余下的2个鸡蛋；接着再拿走一个鸡蛋，最后数剩下的1个鸡蛋。6个鸡蛋就这样被他构成了，但实际上他面前的鸡蛋只有三个。
在数字和量度的计算中，符号A或者符号B或者任何其它符号，它们并不是指谓某个对象，而是指谓你希望表示的无论什么东西的数字。数字背后所意蕴的，才是可以对应的任意对象，而不是某个特指的对象。比如2这个数字，可以表示任意的两只脚（复数feet），表示无论用2来指称的什么东西。如果“脚”这个语词还具有英尺的涵义，意味的是单位或者测度标准，则2+2的算术加运算就形成了不同于2的新东西4，如果3和3的算术相乘，那就成了不同于3的新东西9。因为，这种运算，预设了算术加上的东西或者算术乘上的东西，结果总是不同的另外的数字对象。
但像算术加这类运算，我们似乎可以在几何图形中找到一些反例。比如线段的相加，你用算术加这种预设好像就不那么合适。
假定我们有线段RY，我们把线段RY上的一个点R移动到Y，再移动到X来构成另一条线段RYX，使得线段RY⊕YX=RYX，或者简化一点让P=RY，B=YX，L=RYX，这就可以把上述逻辑加公式表示成P⊕B=L。
线段RYX图形
如果我们再假定，这个同样的点从X回到Y，并且停在那里，虽然确实在第二次描述了YX或者B，但若与第一次描述YX相比，并没有产生任何的不同。所以，L⊕B和L相同-也就是，P⊕B⊕B或者RY⊕YX⊕XY和RY⊕YX相同。
3.用逻辑加构成判断时需要小心谨慎
如果我们用逻辑加来构成判断，莱布尼兹在尾部末端的注释中告诫，需要小心谨慎一点才好。因为使用这种运算时，涉及到量度magnitude和生成对象因运动而产生的运算过程中，常常会产生重复。
必须非常小心地使用量度，这种谨慎小心，在借助量度构成判断时非常重要。并且，在借助对那些生成的或者所描述东西的移动，这些移动又关联到那些已经生成或者已被描述东西的量度时，其重要性更不容置疑。
谨慎是必须的，那么如何去谨慎地使用量度呢？
或者是，在运行演算的每一个步骤中，不要去选择另一部分走过的轨迹，不要让描述运算过程中的一个部分被另一个部分经历的过程所导引。
或者是这样做，把可能的重复一定去掉，以便同样的东西不会重复多次。
依据普遍演算中使用的概念，这一点十分清楚，合成构件可以借助量度来构成一个比它们构成一个合成件的量度更大的一种量度。事物的构成宽泛地不同于量度的构成。例如，如果有两个部分，A或者RS和B或者RX属于整条线段L或者RX的一部分，这些线段的每一个都比RX本身的一半还要大-例如，如果RX是5英尺，RS是4英尺，YX是3英尺-明显地这后两个部分的量度相加构成了7英尺，它比整体RX的量度要大。然而，线段RS和YS本身构成了和RX没有什么区别的东西-那就是RS⊕YX=RX。
线段量度图形
这里的线段相加使用的是逻辑加⊕，而那两个部分用加法获得的数字量度相加则是算术加+的结果。最后，虽然更为重要，当那是一个事物实际生成的问题之时，事物生成的次序（房子建造之前的基础夯定）仍然在人对事物的心理构造之中，无论我们首先考虑的是什么成分，结果都是同样的（虽然一种次序会比另一种次序更方便）。因此，次序不会改变那已经发展而成的事物。这类事情，都将在其自己的时间范围内和合适的地点去得到考虑。然而，对于现在来说，RY⊕YS⊕SX等同于YS⊕RY⊕SX。
临近岁末，终于完成莱布尼兹p19和p20的阅读理解。除了逻辑加，他关于数字的进位制的思考也很有趣，留给下一个年头吧。2019/12/28