[CS131] Lecture 18 Tracking

根据 Stanford CS131 课程写的笔记（大部分为 note 翻译），英语水平一般，如有错误请评论指正

Lecture 18 Tracking

Introduction: What is tracking?

Definition

定位在连续时间下移动的物体的过程

Objective

在连续视频帧下关联目标物体并评估目标状态

Applications

• 人机互动
• 安全
• AR
• 交通
• 医疗图像

Challenges

因为视频的大量数据，耗时较长。并依赖于物体识别算法，在以下情况可能会失败：

• 几何改变，例如物体的尺度改变
• 光方面的改变
• 图像帧中遮挡
• 非线性移动
• 分辨率低的模糊视频
• 同框的相似物体

Feature Tracking

Definition

特征追踪是检测并追踪在连续时间下视觉特征点

Challenges of feature tracking

• 找出哪些特征可被追踪
• 随着帧追踪——一些点可能产生明显变化（例如，因为旋转，光照改变）
• 平移：随着模型升级，小错误可能积累成大错误
• 点可能会消失，需要能够删除、添加点

What are good features to track?

通常我们会避开选择光滑区域和边缘作为特征。为了选出 “高质量” 的特征，一种方法是检测 Harris Corners 作为关键点，这样能够保证较小的错误敏感性。

一旦选好了特征，接下来就可以使用光流算法来解决移动测量问题。

Example

Tracking methods

Simple Kanade–Lucas–Tomasi feature tracker

The Kanade–Lucas–Tomasi (KLT) 特征追踪器是一种特征提取方法。KLT 使用空间强度信息来引导位置的搜索，从而找到最佳匹配位置。算法如下：

1. 找到一个好的点来追踪 (Harris corner)

   Harris corner 点有较大特征值，所以光流方程可解

2. 对每个 Harris corner 计算帧之间的运动（平移或仿射）

3. 在连续帧内连接运动向量来得到每个 Harris corner 的轨迹。

   如果新点周围和旧点差距太大，则抛弃这些点

4. 对每 10 或 15 帧应用 Harris 检测器，引入新的 Harris 点。

下图的箭头表示 Harris corners 的运动追踪。

2D Transformations

Types of 2D Transformations

有多种类型的 2D 转换。可以通过摄像机（放置位置、移动、视角…）和物体来选择正确的 2D 转换。上图是几种 2D 转换的例子：

• 平移 (translation) 变换（例如，固定吊顶相机）
• 相似变换（例如，篮球赛固定相机）
• 仿射变换（例如，行人检测中的人）
• 射影变换（例如，移动相机）

Translation

平移运动是一个点平移到另一个点。假设我们有一个在左边(x,y)$(x,y)$的点m$m$。应用平移运动将m$m$从点(x,y)$(x,y)$移动到(x′,y′)$(x^{\prime },y^{\prime })$

x′=x+b1y′=y+b2$$\begin{gathered} x^{\prime }=x+b_1 \\ {y}^{\prime }=y+b_2 \end{gathered}$$

可以写成用其次坐标的矩阵变换：

(x′y′)=(1001b1b2)⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& b_1\\ 0& 1& b_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

定义W$W$

W(x;p)=(1001b1b2)$$W(x;p)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& b_1\\ 0& 1& b_2\end{array}\right)$$

其中因子向量p=(b1 b2)$p=\left(\begin{array}{c}{b}_1{b}_2\end{array}\right)$

则W$W$对p$p$的偏导数为

∂W∂p(x;p)=(1001)$$\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}(x;p)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

上式被称作雅克比行列式 (Jacobian)

Similarity Motion

相似运动是一种刚体运动，包括缩放和平移。

我们可以定义相似性为

x′=ax+b1y′=ay+b2$$\begin{gathered} x^{\prime }=ax+b_1 \\ {y}^{\prime }=ay+b_2 \end{gathered}$$

定义W,p$W,p$

W=(a00ab1b2)p=(ab1b2)T$$\begin{gathered} W=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& b_1\\ 0& a& b_2\end{array}\right) \\ p={\left(\begin{array}{ccc}a& b_1& b_2\end{array}\right)}^T \end{gathered}$$

则W$W$对p$p$的偏导数，即雅克比行列式 (Jacobian) 为

∂W∂p(x;p)=(xy1001)$$\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}(x;p)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ y& 0& 1\end{array}\right)$$

Affine motion

仿射运动包括放缩，旋转，平移。我们可以表达为

x′=a1x+a2y+b1y′=a3x+a4y+b1$$\begin{gathered} x^{\prime }=a_{1}x+a_{2}y+b_1 \\ {y}^{\prime }=a_{3}x+a_{4}y+b_1 \end{gathered}$$

定义W,p$W,p$

W=(a1a3a2a4b1b2)p=(a1a2b1a3a4b2)T$$\begin{gathered} W=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& b_1\\ a_3& a_4& b_2\end{array}\right) \\ p={\left(\begin{array}{cccccc}{a}_1& a_2& b_1& a_3& a_4& b_2\end{array}\right)}^T \end{gathered}$$

则W$W$对p$p$的偏导数，即雅克比行列式 (Jacobian) 为

∂W∂p(x;p)=(x0y0100x0y01)$$\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}(x;p)=\left(\begin{array}{cccccc}x& y& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& x& y& 1\end{array}\right)$$

Iterative KLT tracker

Problem formulation

给定视频顺序，找到对应每帧相连的变化顺序。要求能够处理任意类型的运动。

Approach

与 KLT 追踪器不同之处在于连接帧的方式：用特征数据和线性相似直接解决相关的变换，而不是用光流连接运动向量并追踪运动。这种方式允许我们处理更加复杂（例如，仿射和投射）转换，并更加稳健的连接物体。

步骤：

1. 用 Harris corner 检测找到特征

2. 对于每个在位置x=[x,y]T$x=[x,y{]}^T$的特征：选择一个特征描述子，并用这个描述子创建一个特征的初始模板（常用附近的像素）：T(x)$T(x)$

3. 求出一个p$p$，能够最小化下一帧中在x2=W(x;p)$x_2=W(x;p)$周围（假设是在特征的新位置）的特征描述的错误。用公式描述则是
   

   ∑x[T(W(x;p))−T(x)]2$$\sum _x[T(W(x;p))-T(x){]}^2$$

4. 迭代的重复以上步骤，将帧之间相连接，随着转换的不断应用，储存特征的坐标。这样能够得到关于物体如何在帧之间移动的测量。

5. 像之前一样，每 10-15 帧引入一个新 Harris corner 来加入新特征，去除之前不好的特征。

Math

在上面第三步中，我们实际上可以近似计算p$p$。假设有一个关于p,p0$p,p_0$的初始猜测，其中p=p0+Δp$p=p_0+\mathrm{\Delta }p$

现在

E=∑x[T(W(x;p))−T(x)]2=∑x[T(W(x;p0+Δp))−T(x)]2$$E=\sum _x[T(W(x;p))-T(x){]}^2=\sum _x[T(W(x;p_0+\mathrm{\Delta }p))-T(x){]}^2$$

使用泰勒逼近，我们可以看出错误项约等于

E≈∑x[T(W(x;p0))+∇T∂W∂pΔp−T(x)]2$$E\approx \sum _x[T(W(x;p_0))+\mathrm{\nabla }T\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}\mathrm{\Delta }p-T(x){]}^2$$

为了最小化此项，我们对p0$p_0$求偏导，并设为 0，求出p0$p_0$

∂E∂p≈∑x[∇T(∂W∂p)T][T(W(x;p0))+∇T∂W∂pΔp−T(x)]=0Δp=H−1∑x[∇T(∂W∂p)T][T(x)−T(W(x;p0))]H=∑x[∇T∂W∂p]T[∇T∂W∂p]$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }p}\approx \sum _x[\mathrm{\nabla }T(\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}{)}^T][T(W(x;p_0))+\mathrm{\nabla }T\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}\mathrm{\Delta }p-T(x)]=0 \\ \mathrm{\Delta }p=H^{-1}\sum _x[\mathrm{\nabla }T(\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}{)}^T][T(x)-T(W(x;p_0))] \\ H=\sum _x[\mathrm{\nabla }T\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}{]}^T[\mathrm{\nabla }T\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}] \end{gathered}$$

迭代地设置p0=p0+Δp$p_0=p_0+\mathrm{\Delta }p$，我们可以最终收敛于一个精确的、最小化错误值的p$p$，告诉我们转换的类型。

Link to Harris Corner Detection

对平移运动，

∂W∂p(x;p)=(1001)$$\frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }p}(x;p)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

容易得到，

H=(I2xIxIyIxIyI2y)$$H=\left(\begin{array}{cc}{I}_x^2& I_x{I}_y\\ I_x{I}_y& I_y^2\end{array}\right)$$

但是，Harris corner 检测器假设只要H​$H$有大特征值（即稳定可逆），那么该点就是一个角。因此，角可能是一个用于计算平移的好特征，恰恰因为角计算出的矩阵是稳定可逆的。