线性规划

1.1 秘籍内容

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(LinearProgramming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。此次练武旅程中，我们找来了两位大师带我们飞，一位是苏联数学家L.V.Kantorovich,另外是美国数学家G.B.Dantzig。
L.V.Kantorovich：练武之前，我们需了解此招数用途。线性规划是为了优化问题，什么是优化问题，通俗来说就是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，包括我们所熟知的劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或是利润最大了，这也是我从经济学中感受出来数学的真谛。
G.B.Dantzig：康托洛维奇说的不错，那么我们知道了目的，就需要寻找方法去解决，这里就由我给大家讲解了。首先为了解决优化问题，我们的引出一些招式的概念来实现一般性：
1）问题的决策变量，一般用n维向量x=($x_1$x1​，$x_2$x2​，…，$x_n$xn​)^T表示，也就是问题中待定的未知变量，我们用代数符号表示它们。
2）目标函数f(x)，关于决策变量的线性函数。
3）可行域，决策变量x允许的取值范围。
4）约束条件，常用一系列关于决策变量的不等式组（或是等式或是两者交叉）$g_i$gi​(x)$\leq$≤ 0，(i=1，2，…，m)。
我们在构思的过程中，已经将数学引入进来而且具有一定的普遍性，可以说这是一个优化问题的数学模型，而它可表述为如下形式：
min z=f(x)
s.t.$g_i$gi​(x)$\leq$≤ 0，(i=1，2，…，m)
这类形式的模型叫线性规划模型，属于约束优化。
回顾上面的内容，我们会有关于建立线性规划模型的灵感，这些概念设出来肯定是有它们的用途，所以咱们得从这些一般概念出发寻找出线性规划模型的基本步骤。要练此功，需要学会三大招。
线性规划招式修炼三大法：
第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号表示它们
第二步，找出问题中所有的限制或约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式
第三步，找到模型的目标或判据，携程决策变量的线性函数，以便求出其最大值或是最小值

L.V.Kantorovich：我们来用一下这“三步走”大法，看看是不是那么有效果。
广告现在天天见，甚至一些广告的特效堪比好莱坞大片。可在广告手段的选择中，一家广告公司想在电视、广播、杂志上做广告，其目的也是尽可能多地招徕顾客。下面是市场调查结果：

这家广告公司希望广告费用不超过800（千元），还有要求：（1）至上要有200万女性收看广告（2）电视广告费不超过500（千元）；（3）电视广告白天至上播出至少三次，最佳时间至少播出2次；（4）通过广播、杂志做的广告要重复5到10次
第一步，确定决策变量，题目中要求的未知变量不就是白天电视、最佳时间电视、广播、杂志的广告次数吗？所以我们令 $x_1$x1​，$x_2$x2​，$x_3$x3​，$x_4$x4​ 分别表示白天电视、最佳时间电视、广播、杂志的广告次数。
第二步，找出来所有约束条件。广告经费的约束；受广告影响的女顾客数的约束；电视广告的约束；由于广播和杂志广告次数都在5到10之间，这也是一个约束条件。我们来具体化：
广告经费的约束条件：40$x_1$x1​+75$x_2$x2​+30$x_3$x3​+15$x_4$x4​≤800
受广告影响的女顾客数的约束条件：300$x_1$x1​+400$x_2$x2​+200$x_3$x3​+100$x_4$x4​ $\geq$≥ 2000
电视广告的约束条件：40$x_1$x1​+75$x_2$x2​≤500，$x_1$x1​ $\geq$≥ 3，$x_2$x2​ $\geq$≥ 2
最后一个约束条件：5 $\leq$≤ $x_3$x3​ $\leq$≤ 10，5 $\leq$≤ $x_4$x4​ $\leq$≤ 10（我们也直接写成5 $\leq$≤ $x_3$x3​ ，$x_4$x4​ $\leq$≤ 10）。
第三步，我们要找目标，这道题目中，我们当然希望看广告的人多了，所以受每次广告影响的顾客数越多越好。则maxZ=400$x_1$x1​+900$x_2$x2​+500$x_3$x3​+200$x_4$x4​ 为目标函数。
故完整规划如下：
maxZ=400$x_1$x1​+900$x_2$x2​+500$x_3$x3​+200$x_4$x4​

有时候还得考虑实际情况，比如该题中次数为非负数即 $x_1$x1​，$x_2$x2​，$x_3$x3​，$x_4$x4​ $\geq$≥ 0，这也是隐藏的约束条件。

1.2 武器栏

G.B.Dantzig：模型建立了，该是我们解决的时候了，在理论上可以运用我发明的单纯形法来求解。朋友们，我们已经在21世纪，要充分利用身边的数学工具，所以我想先给大家介绍两种实际建模中常用的方法：MATLAB软件包解法和LINGO软件包解法，这也是我们线性规划派的俩个常用武器

1.2 .1 武器一 ：MATLAB解线性规划

x=linprog(c,A,b)
用于求解模型：min z=cX
s.t A X ≤ b
2.
x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
用于求解模型：min z=c X

若没有不等式约束：AX≤b，则令A=[ ]，b=[ ]
3.
x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
用于求解模型：min z=c X

若没有等式约束：Aeq。X=beq，则令Aeq=[ ],beq=[ ]
4.
x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,),也用于模型3的求解，其中 $X_0$X0​ 是初始点
5.
[x,fval]=linprog()
返回最优解x及x处的目标函数值fval

武器注解：
x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , vlb , vub , $X_0$X0​ )是求解线性规划问题的命令。
c是目标函数的系数向量，A是不等式约束AX<=b的系数矩阵，b是不等式约束AX<=b的常数项。
Aeq是等式约束AeqX=beq的系数矩阵，beq是等式约束AeqX=beq的常数项，vlb是X的下限，vub是X的上限，X是向量[ $x_1$x1​，$x_2$x2​，…，$x_n$xn​]即决策变量。
指定迭代的初始值 $X_0$X0​；
如果模型中不包含不等式约束条件，可用［］代替A和b表示缺省；如果没有等式约束条件，可用［］代替Aeq和beq表示缺省；如果某个xi无下界或上界，可以设定vlb（i）＝－inf或vub（i）＝inf；
用［x , fval］代替上述各命令行中左边的x，则可得到在最优解x处的函数值fval

牛刀小试

某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员，且每种检验员的日产量不高于1800件。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检验一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
设需要一级检验员和二级检验员的人数分别为$x_1$x1​，$x_2$x2​，则应付检验员的工资为
8x4x$x_1$x1​+8x3x$x_2$x2​=32$x_1$x1​+24$x_2$x2​
因检验员错检而造成的损失为
（8x25x2%x$x_1$x1​+8x15x95%x$x_2$x2​）x2=8$x_1$x1​+12$x_2$x2​
故目标函数为
Min z=32$x_1$x1​+24$x_2$x2​+8$x_1$x1​+12$x_2$x2​=40$x_1$x1​+36$x_2$x2​
约束条件：

运用武器MATLAB后的奥义如下图：

即只需9个一级检验员

1.2 .2 武器二 ：Lingo解线性规划

Lingo的攻击范围更广，和lingo武器可以切合的招式更多：比如非线性规划，那些不是纯整数规划的线性规划
在线性规划中的应用max Z =5$x_1$x1​+3$x_2$x2​+6$x_3$x3​，

武器注解：
REDUCED COST 表示决策变量Xi的值由0变为非0而要求目标系数Ci进行改变的数量。类似于管理运筹学中文版软件中的“相差值”。
一般reduced cost不为0时，xi的最优解为0。
假如A产品的价格为50元，B产品的价格为30元。则求max z =50$x_1$x1​+30$x_2$x2​
而用lingo求解结果为
variable value reduced cost
x1 30 0
x2 0 20
如上，reduced cost 为20的意思就是说，想要生产B产品，就要B的价格由当前的30增加到50，即30加上reduced cost 20元的时候才可以进行生产。