文章目录
黑塞矩阵与多元函数的极值
一元函数求极值，例如函数：
通常先求其一阶导数，根据费马定理极值点处的一阶导数一定等于0。但这仅仅是一个必要条件而非充分条件。对于f(x)=x2 来说，函数的确在一阶导数为0点取得了极值，但对于f(x)=x3 来说，显然只检查一阶导数是不能下此结论的。
这时需要再求一次导，如果二阶导数f’’ (x)<0，那么说明函数在该点取得局部极大值；如果二阶导数f’’ (x)>0,则说明函数在该点取得局部极小值；如果f’’ (x)=0，则结果仍然是不确定的，就不得不通过其它方式来确定函数的极值性。
如果要在多元函数中求极值点，方法与此类似，。以f=f(x,y,z)来作为示例。首先，对于函数中的每个变量分别求偏导数，这时可知函数的极值点可能出现在哪里，即
接下来，需要继续求二阶导数，此时包含混合偏导数的情况一共有9个，如果用矩阵形式来表示，则可得到
这个矩阵就称为黑塞矩阵（Hessian）。当然上面给出的仅仅是一个三阶的Hessian矩阵。其它的海塞矩阵与此类似。
当一元函数的二阶导数等于0时，并不能确定函数在该点的极值性。类似的，面对Hessian矩阵，仍然存在无法判定多元函数极值性的情况，即当Hessian矩阵的行列式为0时，无法确定函数是否能取得极值。甚至可能会得到一个鞍点，也就是一个即非极大值也非极小值的点。
基于Hessian矩阵，可以判断多元函数的极值情况，结论如下：
（1）如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部极小值
（2）如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部极大值
（3）如果是不定矩阵，则临界点处不是极值
如何判断一个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的。一个最常用的方法就是借助其顺序主子式。