【主动声呐】——匹配滤波器

背景知识

注意频谱密度和频谱的概念一般不作区分！

• 能量谱
  能量信号频谱的平方
  $S(f)=\int s(t) e^{-j2\pi ft} {\rm dt}$S(f)=∫s(t)e−j2πftdt
  $G(f)=|S(f)|^2$G(f)=∣S(f)∣2
  频率$f$f对应的能量为：
  $\rm dE_{f}=G(f) \rm df$dEf​=G(f)df
• 功率谱
  功率信号频谱的平方除时间
  $P(f)=\lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T}|S(f)|^2$P(f)=T→+∞lim​T1​∣S(f)∣2
  功率信号的功率为
  $P=\int P(f) \rm df$P=∫P(f)df
• 帕斯瓦尔定理
  信号的总能量既可以在时间域求积分得到，也可以频域中求积分得到（功率同理）：
  $W=\int s(t) \rm dt =\frac{1}{2\pi} \int S(\omega) \rm d \omega$W=∫s(t)dt=2π1​∫S(ω)dω
• 维纳辛钦定理
  信号的自相关函数与功率谱是傅里叶变换对关系
  $P(\omega)=\int R(t)e^{-j\omega t} \rm dt$P(ω)=∫R(t)e−jωtdt

匹配滤波器

基本准则

使滤波器输出的时域信号能在某一时刻，取到最大的信噪比，然后在该时刻进行判决
（通过滤波器输出的信号即可认为是输入信号和输出信号的相关函数，判决时刻可认为是两者波形重合的时刻）

匹配滤波器的频域表达式

设主动声呐发出的信号为$s(t)$s(t)，噪声的功率谱密度为$\frac{n_0}{2}$2n0​​，滤波器的输出为$y(t)=s_0(t)+n_0(t)$y(t)=s0​(t)+n0​(t)
滤波器输出信号部分$s_0(t)$s0​(t)可表达为：
$s_0(t)=\frac{1}{2\pi}\int S_0(\omega)e^{j \omega t} {\rm d \omega}=\frac{1}{2\pi}\int S(\omega)H(\omega)e^{j \omega t} {\rm d \omega}$s0​(t)=2π1​∫S0​(ω)ejωtdω=2π1​∫S(ω)H(ω)ejωtdω
噪声的平均功率可表达为：
$N_0=\frac{1}{2\pi}\int P_0(\omega) {\rm d \omega}=\frac{1}{2\pi}\int P(\omega)|H(\omega)|^2 {\rm d \omega}=\frac{n_0}{4\pi}\int |H(\omega)|^2 {\rm d \omega}$N0​=2π1​∫P0​(ω)dω=2π1​∫P(ω)∣H(ω)∣2dω=4πn0​​∫∣H(ω)∣2dω
输出信号的瞬时功率与噪声平均功率的比值即为信噪比，要找到使它达到最大的时刻$t_0$t0​：
$r_0=\frac{|s_0(t_0)|^2}{N_0}=\frac{|\frac{1}{2\pi}\int S(\omega)H(\omega)e^{j \omega t_0} {\rm d \omega}|^2}{|\frac{n_0}{4\pi}\int |H(\omega)|^2 {\rm d \omega}|^2}$r0​=N0​∣s0​(t0​)∣2​=∣4πn0​​∫∣H(ω)∣2dω∣2∣2π1​∫S(ω)H(ω)ejωt0​dω∣2​
根据施瓦兹不等式可知：
$|\frac{1}{2\pi}\int S(\omega)H(\omega)e^{j \omega t_0} {\rm d \omega}|^2\leq\frac{1}{2\pi}|\int H(\omega)|^2 {\rm d \omega}\times\int |S(\omega) e^{j \omega t_0} |^2 {\rm d \omega}$∣2π1​∫S(ω)H(ω)ejωt0​dω∣2≤2π1​∣∫H(ω)∣2dω×∫∣S(ω)ejωt0​∣2dω
等号取到条件为：
$H(\omega)=K(S(\omega) e^{j \omega t_0})^*$H(ω)=K(S(ω)ejωt0​)∗
信噪比可化简为：
$r_0=\frac{\frac{1}{2\pi}\int |S(\omega) |^2 {\rm d \omega}}{\frac{n_0}{2}}=\frac{2E}{n_0}$r0​=2n0​​2π1​∫∣S(ω)∣2dω​=n0​2E​
注：此时$H(\omega)=KS^*(\omega)e^{-j\omega t_0}$H(ω)=KS∗(ω)e−jωt0​，通过该滤波器的信号在$t=t_0$t=t0​的时候取到最大的信噪比

匹配滤波器的冲激响应

根据匹配滤波器的频域表达式$H(\omega)=KS^*(\omega)e^{-j\omega t_0}$H(ω)=KS∗(ω)e−jωt0​，利用傅里叶反变换可以求得匹配滤波器的冲激响应$h(t)$h(t)：
$h(t)=\frac{1}{2\pi}\int H(\omega) e^{j \omega t} {\rm d \omega}=\frac{1}{2\pi}\int KS^*(\omega)e^{-j\omega t_0} e^{j \omega t} {\rm d \omega}=\frac{K}{2\pi}s^*(t_0-t)=\frac{K}{2\pi}s(t_0-t)$h(t)=2π1​∫H(ω)ejωtdω=2π1​∫KS∗(ω)e−jωt0​ejωtdω=2πK​s∗(t0​−t)=2πK​s(t0​−t)
即匹配滤波器的单位冲激响应为$h(t)=Ks(t_0-t)$h(t)=Ks(t0​−t)
注：
1.这里的$t_0$t0​是自己取的，直接决定了滤波器的形式，同时决定了输出信号的最大信噪比的时刻。
2.为了使滤波器是一个因果系统，则$h(t)=0, t\leq 0$h(t)=0,t≤0，故$s(t)=0, t\geq t_0\ or\ t\leq0$s(t)=0,t≥t0​ or t≤0，即主动声呐发出的信号需为一个短时脉冲。
3.若信号脉宽为$T$T，则需要满足$t_0\geq T$t0​≥T，一般取$t_0=T$t0​=T使滤波器作最小的延时。

匹配滤波器的输出

根据冲激响应的性质，匹配滤波器的输出可以表示为冲激响应与输入信号的卷积：
$s_0(t)=s(t)*h(t)=\int h(\tau)s(t-\tau){\rm d\tau}=\int Ks(t_0-\tau)s(t-\tau){\rm d \tau}$s0​(t)=s(t)∗h(t)=∫h(τ)s(t−τ)dτ=∫Ks(t0​−τ)s(t−τ)dτ

根据上图，可以发现如果$t_0=T$t0​=T时，$h(t)$h(t)翻转后直接就可以得到有效的输出信号，否则还需要进行滑动，直到滑动了一段距离后才能得到有效(不为0)的输出信号。
可以得到输出信号的表达式：
$r(t)=KR(t-t_0)$r(t)=KR(t−t0​)
即为输入信号的自相关函数，故在$t=t_0$t=t0​时取到最大，故在这个时候进行判决。