快速数论变换NTT

快速数论变换(NTT)

一.相关概念:

1.剩余系: 所有整数模正整数n得到的结果组成的集合称为n的剩余系,n的剩余系即小于n的非负整数,记为 $Z_n$
2.简化剩余系: 在n的剩余系中与n互质的元素的集合,称为n的简化剩余系,记为 $Z_n^*$
3.欧拉函数: n的简化剩余系中元素的个数,称为欧拉函数,记为 $\phi(n)$
3.原根: 对于互质的两个正整数g和n,如果g模n的阶为 $\phi(n)$ ,则称x为n的原根.换句话说,即对于 $1 \leq j < \phi(n)$ ,使得 $g^{j}\neq 1 (mod\ n)$ ,但 $g^{\phi(n)}=1 (mod \ n)$ 则称g为n的原根.
如何求原根?
求n的原根,似乎只能暴力枚举 $g (2\leq g \leq n-1)$ ,然后检测 $g^p mod\ n$ 是否等于1,此处p为 $\frac{\phi(n)}{x}$ ,x为 $\phi(n)$ 的质因数.如果存在一个p使得 $g^p mod \ n$ 等于1,则g不是原根,否则g为原根.
一般原根都很小,所以暴力枚举即可.
快速数论变换NTT

二.NTT

在FFT中,我们选择n次单位复根作为x的值,因为它们符合消去引理、折半引理和求和引理，于是可以采用分治的方法将时间复杂度将为 $O(NlogN)$ .但是因为使用了复数,所以在精度上可能会有些误差.而且有的题目,多项式相乘是带模的乘法,此时我们不能使用FFT了.那能不能取整数值来作为x的值呢?其实,只要该值也像主n次单位复根那样符合消去引理、折半引理和求和引理呢,则他们也是采用分治来加速的.
在数论当中，我们发现某些数的简化剩余系在乘法运算下构成的群与n次单位复根在乘法运算的群有相似的性质.如果 $m$ 存在原根 $x$ ,则 $m$ 的简化剩余系 $Z_m^*=\{x^j (mod \ m) |1\leq j \leq \phi(n)\}$ .
设 $\phi(m)=k*2^n$ , $x_i=x^{\phi(m)/i} (mod \ m)$ , $i$ 也为2的幂,且 $i\leq 2^n$
则易知 $x_i$ 满足:
1.消去引理
$x_{id}^{jd}=x_i^{j} (mod \ m)$
根据定义即可证明.
2.折半引理:
$(x_{i}^{j+i/2})^2=x_i^{2j+i}=(x_i^j)^2*x_i^i=(x_i^j)^2 (mod \ m)$
根据消去引理可以证明.
3.求和引理:
当m>2且k不是i的倍数时,下式成立:
$\sum_{j=0}^{i-1}(x_i^k)^j=0 (mod \ m)$
根据等比数列求和公式可以证明.
所以,我们可以取m的原根,像FFT一样,在 $O(NlogN)$ 的时间内完成多项式乘法.
使用NTT时有些限制,如果多项式乘法不要求取模,则我们要找足够大的质数m,并且 $m-1=k*2^n$ ,要保证n大于多项式的项数,m还要大于多项式的系数.
如果多项式乘法是带模乘法,则只能用NTT,不能使用FFT.此时,若m为质数,则要求 $m-1=k*2^n$ ,n要大于多项式的系数.若m不为质数,则需要用中国剩余定理来做.
三.模板
使用NTT计算多项式的乘积

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define LL long long int
#define MAXN 400005
LL num1[MAXN],num2[MAXN];
int n,m,len;
const LL G=3;
const LL MOD=998244353;
LL w,wn;
LL ksm(LL x,LL k){
LL res=1;
    while(k)
    {
      if(k&1)
      res=res*x%MOD;
      x=x*x%MOD;
     k>>=1;
    }
    return res;}
void change(LL *num,int len){
    for(int i=1,j=len/2;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(num[i],num[j]);
        int k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k/=2;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }}
void ntt(LL *num,int len,int flg){
    for(int i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        if(flg==1)w=ksm(G,(MOD-1)/i);
        else w=ksm(G,MOD-1-(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<len;j+=i)
        {
            wn=1;
            for(int k=0;k<i/2;k++)
            {
              LL u=num[j+k],t=num[j+k+i/2]*wn%MOD;
              num[j+k]=(u+t)%MOD;
              num[j+k+i/2]=(u-t+MOD)%MOD;
              wn=wn*w%MOD;
            }
        }
    }
    if(flg==-1)
    {
        LL ni=ksm(len,MOD-2);
        for(int i=0;i<len;i++)
        num[i]=num[i]*ni%MOD;
}
}
int main()
{
 while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(num1,0,sizeof num1);
        memset(num2,0,sizeof num2);
        n++,m++;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld",&num1[i]);
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    scanf("%lld",&num2[i]);
    len=1;
        while(len<n+m-1) len<<=1;
        change(num1,len);
        change(num2,len);
        ntt(num1,len,1);
        ntt(num2,len,1);

        for(int i=0;i<len;i++)
        num1[i]=num1[i]*num2[i];
        change(num1,len);
        ntt(num1,len,-1);
        int pos=0;
        for(int i=0;i<n+m-1;i++)
        printf("%lld ",num1[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
    }