浅谈单调队列

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前置知识：

简单 $\text{dp}$dp，队列。

首先我们看一道题目：原题链接

简要题意：

给定一个长为 $n$n 的数组，要求 不能选连续超过 $m$m 个数，问选出数的最大值。

$n \leq 10^5 , a_i \leq 10^9$n≤105,ai​≤109.

注：本题将作为 作者讲解单调队列优化 $\text{dp}$dp 的引子题。

$\mathcal{O}(nm)$O(nm) 的 $\text{dp}$dp

首先我们考虑用 $f_i$fi​ 来表示 $[1,i]$[1,i] 的答案，但是你会发现一个问题：你不知道 $i$i 选不选，就意味着你不知道 前面能选 $m$m 个还是只能选 $m-1$m−1 个（连续），无法进行操作。

于是我们用 $f_{i,0}$fi,0​ 表示 $[1,i]$[1,i] 中 不选 $i$i 的答案。

$f_{i,1}$fi,1​ 表示 $[1,i]$[1,i] 中 选 $i$i 的答案。

这样我们可以列出这样的状态转移方程：

$\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + \sum_{j=x+1}^i a_j)\\ \end{cases}${fi,0​=max(fi−1,0​,fi−1,1​)fi,1​=maxx=i−mi−1​(fx,0​+∑j=x+1i​aj​)​

只需要先算出 $f_{i,0}$fi,0​，再算 $f_{i,1}$fi,1​，可以保证无后效性。这样一个可实现的 $\text{dp}$dp.

可是这时间复杂度是 $\mathcal{O}(nm^2)$O(nm2) 的，无法通过。

一个显然的优化，用 $s$s 表示 $a$a 的前缀和，这样就变成了：

$\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\\ \end{cases}${fi,0​=max(fi−1,0​,fi−1,1​)fi,1​=maxx=i−mi−1​(fx,0​+si​−sx​)​

时间复杂度会是 $\mathcal{O}(nm)$O(nm)，仍然无法通过。

那么如何优化这个 $\text{dp}$dp 呢？

你考虑到 $f_{i,1}$fi,1​ 的决策实际上是连续的一段：$[i-m , i-1]$[i−m,i−1] 区间。

所以我们可以用 单调队列优化。

模板题：单调队列优化 $\text{dp}$dp

单调队列有啥用？

首先，我们知道，队列里可以有很多元素。

下面我们将用集合的形式来表示队列或数组，如 $\{ 1,2,4\}${1,2,4} 则表示队列中依次有元素 $1,2,4$1,2,4，或者是一个长度为 $3$3 的序列，其元素依次为 $1,2,4$1,2,4.

假设我们有一个队列 $\{ a_1 , a_2 \cdots a_n\}${a1​,a2​⋯an​}，你会发现，如果你要从其中取出一个 最大值，此时你必须遍历队列（你需要用另一个数据结构存储 $a$a，并将队列一个个弹出，然后再重新维护 $a$a），需要 $\mathcal{O}(n)$O(n).

那么这样一道题目就来了：

$n$n 个数，给定 $m$m，对每个 $1 \leq i \leq n$1≤i≤n，求 $\max_{j= \max(1,i-m+1)}^{i} a_j$maxj=max(1,i−m+1)i​aj​.
数据范围：$n,m \leq 2 \times 10^7$n,m≤2×107，$a$a 给出随机生成器（略）。
时间限制：$500ms$500ms.

本质就是求连续 $m$m 个数的最大值。

诚然你可以用 $f_i$fi​ 表示答案，然后 $\mathcal{O}(nm)$O(nm) 求出。

当然你也可以用高级数据结构（线段树等）来维护连续一段的最大值，这样是 $\mathcal{O}(n \log m)$O(nlogm).

但是限于本题 $2 \times 10^7$2×107 的数据，无法通过。

我们需要一个 $\mathcal{O}(n)$O(n) 的算法。

这时，单调队列的应用就到了。

单调队列是啥？

首先我们要知道单调队列是什么。

对于一个队列 $q$q 中的元素 $\{ a_1 , a_2 \cdots a_n\}${a1​,a2​⋯an​}，如果在操作时能 时时保证 $a$a 的有序性，则 $q$q 为单调队列。

通常，我们有 priority_queue 来实现，需要单次 $\log$log 的复杂度。如果用堆也一样。

但是，现在，对于 连续一段数的极值，我们可以用特殊的方式实现。

单调队列的维护（引子）

我们用单调队列来维护 对当前位置有决策性作用的节点。

比方说一个数组 $\{3 , 2 , 1\}${3,2,1}，对 $1$1 有决策性作用的节点有 $3,2,1$3,2,1.

但是数组 $\{1 , 2 , 3\}${1,2,3}，对 $3$3 有决策性作用的节点就只有 $3$3.

• 如何理解？

对已经失去决策性作用的节点，出队；否则入队。

• 什么是失去决策性作用？

这样可以做到 $\mathcal{O}(n)$O(n) 的维护。

• 这些都是啥？

单调队列的维护（正题）

下面我们用一个例子来解释。

对于 $\{ 1,4,3,5,2\}${1,4,3,5,2} 求解上述问题，$m=3$m=3，如何快速得解呢？

起初单调队列为空。

然后，对于 $1$1 号节点，显然决策只有一个：

所以 $f_1 = 1$f1​=1，这是显然的。

此时 $a_2 = 4$a2​=4 进来了，我们发现，对于 $i \geq 2$i≥2 的节点 $a_2 > a_1$a2​>a1​，所以称 $a_1$a1​ 失去了决策性作用。因为只要 $a_1$a1​ 会被取到，那么 $a_2$a2​ 也会被取到，而 $a_2 > a_1$a2​>a1​，所以 $a_1$a1​ 已经失去了决策性。

那么我们把 $\text{front} - a_1$front−a1​ 踢出。

$2-4$2−4 表示 $a_2 = 4$a2​=4.

这时 $f_2 = 4$f2​=4，显然。

下面 $a_3 = 3$a3​=3 进队之后，$3$3 有没有必要弹出呢？如果弹出，$3$3 在队尾又如何弹出呢？

不需要。因为，此时尽管 $a_2 > a_3$a2​>a3​，但对于 $i \geq 3$i≥3，并不是当 $a_3$a3​ 能被取到时，$a_2$a2​ 就会被取到。因为 $a_5$a5​ 的决策会来自 $a_3$a3​ 而不是 $a_2$a2​，所以不应弹出 $a_3$a3​，也不应弹出 $a_2$a2​，就把 $a_3 = 3$a3​=3 插入在队尾。

然后你会发现 $\text{front}$front 永远维护最大值。因为如果队头不是最优的，显然 队头比其它任何节点下标小，所以队头还在只能说明它是最优的，否则它就会失去决策性。

这样，$f_3 = 4$f3​=4.

下面 $a_4 = 5$a4​=5，显然 $4$4 和 $3$3 都可以卷铺盖走人了，因为 $5 > 4 > 3$5>4>3,社会的竞争如此激烈。

这样的话，$f_4 = 5$f4​=5，没有问题。

然后 $a_5 = 3$a5​=3 进来之后，一样的道理，同时保留 $5$5 和 $3$3.

此时 $f_5 = 5$f5​=5.

所以对于数组 $\{ 1,4,3,5,2\}${1,4,3,5,2}，对应的 $f$f 为 $\{ 1,4,4,5,5\}${1,4,4,5,5}，没有问题。

初学者大概都会问：

• queue 还是 priority_queue 呢？

诚然是 queue，因为 对决策性的操作 已经保证了单调性，如果用优先队列反而会多一个 $\log$log ！

例题和配套代码

实际上，上面的题目仅仅是 洛谷 $\text{P1440}$P1440 的一个改版，把最小值改成了最大值而已。

Link 代码

顺便说一句，这个题似乎 $\mathcal{O}(n \log m)$O(nlogm) 的微妙卡常是可以通过的

回归正题

说了这么多，希望你也知道单调队列优化 $\text{dp}$dp 大概是个啥了吧。

回归这题的转移方程式：

$\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\\ \end{cases}${fi,0​=max(fi−1,0​,fi−1,1​)fi,1​=maxx=i−mi−1​(fx,0​+si​−sx​)​

而 $s_i$si​ 是不变的，实际上可以变形为：

$\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = s_i + \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0}- s_x)\\ \end{cases}${fi,0​=max(fi−1,0​,fi−1,1​)fi,1​=si​+maxx=i−mi−1​(fx,0​−sx​)​

$f{i,1}$fi,1 的决策是连续的一段，只需要用单调队列取出 $f_{x,0} -s_x$fx,0​−sx​ 最大的节点即可。

Link 代码

课后习题

洛谷 $\text{P2032}$P2032