[数据库] 4.4 函数依赖及其公理和定理

文章目录

• 4.4 函数依赖及其公理和定理
• 4.4.1 函数依赖
• 4.4.2 部分 and 完全函数依赖
• 4.4.3 传递函数依赖
• 4.4.4 函数依赖相关的几个重要概念
• 4.4.5 关于函数依赖的公理和定理
• 4.4.6 函数依赖集的最小覆盖
• 4.4.7 总结

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4.4 函数依赖及其公理和定理

• 基本内容
  • 函数依赖
  • 完全函数依赖与传递函数依赖
  • 关于函数依赖的公理和定理
  • 函数依赖集的最小覆盖
• 重点与难点
  • 一组概念：函数依赖、部分函数依赖和完全函数依赖、传递函数依赖、 候选键、非主属性、逻辑蕴涵、闭包、属性闭包、覆盖、最小覆盖等
  • 关于函数依赖的公理和定理，相关的证明
  • 求属性闭包的算法、求最小覆盖的算法

目录

4.4.1 函数依赖

• 函数依赖的定义

  • 设 $R(U)$R(U) 是属性集合 $U=\{A_1,A_2,…,A_n\}$U={A1​,A2​,…,An​}上的一个关系模式，$X, Y$X,Y 是 $U$U 上的两个子 集，

    若对 $R(U)$R(U) 的任意一个可能的关系 $r$r , $r$r 中不可能有两个元组满足在 $X$X 中的属性值相等而在 $Y$Y 中的属性值不等，则称 “X函数决定Y” 或 “Y函数依赖于X”, 记作 $X \rightarrow Y$X→Y

  • 示例1

    $U = {学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩}$U=学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩

    $学号 \rightarrow {姓名, 年龄}$学号→姓名,年龄

    $班号 \rightarrow 班长$班号→班长

    ${学号, 课号} \rightarrow 成绩$学号,课号→成绩

    注：函数依赖的分析取决于对问题领域的限定和分析，取决于对业务规则的正确理解。例 如：问题领域中，学生是没有重名的，则有：“年龄”和“家庭住址”都函数依赖于“姓 名”。而在另一个问题领域中，学生是有重名的，则上述函数依赖是不成立的。

  • 示例2

    -

• 函数依赖的特性

  • 对 $X \rightarrow Y$X→Y，但 $Y \not\subset X$Y​⊂X, 则称 $X \rightarrow Y$X→Y 为 非平凡的函数依赖；
  • 若 $X \rightarrow Y$X→Y，则任意两个元组，若 $X$X 上值相等，则 $Y$Y 上值必然相等, 则称 $X$X 为决定因素；
  • 若 $X \rightarrow Y$X→Y ，$Y \rightarrow X$Y→X, 则记作 $X \leftarrow \rightarrow Y$X←→Y；
  • 若 $Y$Y 不函数依赖于 $X$X ，则记作 $X \not\rightarrow Y$X​→Y；
  • $X \rightarrow Y$X→Y，有基于模式 $R$R 的，则要求对任意的关系 $r$r 成立；有基于具体关系 $r$r 的，则要求对某一关系 $r$r 成立；
  • 如一关系 $r$r 的某属性集 $X$X, $r$r 中根本没有 $X$X 上相等的两个元组存在，则 $X \rightarrow Y$X→Y 恒成立；

• 函数依赖的提取练习

  分析下列属性集上的函数依赖

  • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 7: 学生(学号,̲姓名，班级，课号,课程名，成…

    • $学号 \rightarrow \{姓名, 班级\}$学号→{姓名,班级} ; $课程号 \rightarrow 课程名$课程号→课程名; $\{学号, 课号\} \rightarrow 成绩${学号,课号}→成绩
    • $教师 \rightarrow 教师职务$教师→教师职务
    • $\{班级, 课号\} \rightarrow 教师${班级,课号}→教师

  • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 8: 客户(客户号,̲客户名称,类别,联系电话,…

    • $客户号 \rightarrow \{客户名称, 类别\}$客户号→{客户名称,类别}
    • $产品编号 \rightarrow 产品名称$产品编号→产品名称
    • $\{客户号, 产品编码, 要货日期\} \rightarrow 数量${客户号,产品编码,要货日期}→数量

目录

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4.4.2 部分 and 完全函数依赖

• 部分 and 完全函数依赖定义

  在 $R(U)$R(U) 中，若 $X \rightarrow Y$X→Y 并且对于 $X$X 的任何真子集 $X'$X′都有 $X' \not\rightarrow Y$X′​→Y, 则称 $Y$Y 完全函数依赖于 $X$X , 记为：$X \rightarrow^{f} Y$X→fY, 否则称 $Y$Y 部分函数依赖于 $X$X (存在非受控冗余), 记为：$X \rightarrow^{p} Y$X→pY

  • 示例

    KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 2: U̲={学号，姓名，年龄，班号，…

    KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 27: …\rightarrow^{f}̲U

    KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 11: \{学号, 课号\}̲\rightarrow^{p}…

    $\{学号, 课号\} \rightarrow^{f} 成绩${学号,课号}→f成绩

    

• 部分 and 完全函数依赖练习

  • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 7: 学生(学号,̲姓名,班级,课号,课程名…
    • $\{学号, 课号\} \rightarrow^{f} U${学号,课号}→fU，但 $\{学号, 课号\} \rightarrow^{p} 姓名${学号,课号}→p姓名
    • $\{学号, 课号\} \rightarrow^{p} 课程名${学号,课号}→p课程名
  • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 8: 员工(员工码,̲姓名,出生日期,联系电话,…
    • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 30: …\rightarrow^{f}̲U
    • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 30: …\rightarrow^{p}̲\{姓名, 出生日期\}

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4.4.3 传递函数依赖

• 传递函数依赖定义

  在 $R(U)$R(U) 中，若 $X \rightarrow Y, Y \rightarrow Z$X→Y,Y→Z 且 $Y \not\subset X, Z \not\subset Y, Z \not\subset X$Y​⊂X,Z​⊂Y,Z​⊂X, $Y \not\rightarrow X$Y​→X, 则称 $Z$Z 传递函数依赖于 $X$X。

  传递依赖存在着非受控冗余

• 示例

  KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 2: U̲={学号，姓名，年龄，班号，…

  • $学号 \rightarrow 班号$学号→班号, $班号 \rightarrow 班长$班号→班长
  • $学号 \rightarrow 班长$学号→班长
  • 注：“班长” 是传递依赖与 “学号” 的

• 传递函数依赖练习

  • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 7: 商店(商店,̲商品,商品经营部,经营部经…
    • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 6: \{商店,̲商品\} \rightarro…, KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 6: \{商店,̲商品经营部\} \righta…
    • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 6: \{商店,̲商品\}\rightarro…
  • KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 8: 员工(员工码,̲姓名,部门,部门经理)
    • $员工码 \rightarrow 部门$员工码→部门, $部门 \rightarrow 部门经理$部门→部门经理
    • $员工码 \rightarrow 部门经理$员工码→部门经理

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4.4.4 函数依赖相关的几个重要概念

• 候选码 / 候选码

  设 $K$K 为 $R(U)$R(U) 中的属性或属性组合，若 $K \rightarrow^{f} U$K→fU, 则称 $K$K 为 $R(U)$R(U) 上的候选键 (Candidate Key)

  说明：

  • 可任选一候选键作为 $R$R 的 主键(Primary Key)；
  • 包含 在任一候选键中的属性 称 主属性(Prime Attribute) ,其他属性称非主属性；
  • 若 $K$K 是 $R$R 的一个候选键，$S \supset K$S⊃K, 则称 $S$S 为 $R$R 的一个超键(Super Key)。

• 外来键 / 外键

  若 $R(U)$R(U) 中的属性或属性组合 $X$X 并非 $R$R 的候选键，但 $X$X 却是另一关系的候选键， 则称 $X$X 为 $R$R 的外来键(Foreign Key)，简称外键。

• 逻辑蕴涵

  设 $F$F 是关系模式 $R(U)$R(U) 中的一个函数依赖集合，$X, Y$X,Y 是 $R$R 的属性子集，如果从 $F$F 中的函数依赖能够推导出$X \rightarrow Y$X→Y，则称 $F$F 逻辑蕴涵 $X \rightarrow Y$X→Y, 或称 $X \rightarrow Y$X→Y是 $F$F 的逻辑蕴涵。记作 $F$F $X \rightarrow Y$X→Y。

  说明：

  • 设 $F$F 是关系模式 $R(U)$R(U) 的函数依赖集, $X \rightarrow Y$X→Y 是一个函数依赖，若对 $R$R 中的每个满足 $F$F 的关系 $r$r, 能够用形式逻辑推理的方法推出 $r$r 也满足 $X \rightarrow Y$X→Y，则称 $F$F $X \rightarrow Y$X→Y。
  • 若满足 $F$F 的每个关系均满足 $X \rightarrow Y$X→Y，则说 $F$F 逻辑蕴涵 $X \rightarrow Y$X→Y

• 闭包

  被 $F$F 逻辑蕴涵的所有函数依赖集合称为 $F$F 的 闭包(Closure)，记作 $F^+$F+。 包含了平凡的函数依赖。

  说明：

  若 $F^+=F$F+=F, 则说 $F$F 是一个 全函数依赖族(函数依赖完备集)

  示例

  设 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 7: R=ABC,̲F={A \rightarro…,则 $F^+$F+ 的组成如下，即由如下形式的 $X \rightarrow Y$X→Y 构成：

  • $X$X 包含 $A$A,而 $Y$Y 任意，如 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '' at position 21: …rightarrow AB,̲A \rightarrow C…
  • $X$X 包含 $B$B 但不含 $A$A 且 $Y$Y 不含 $A$A,如 $BC \rightarrow B,B \rightarrow C,B \rightarrow $∅​
  • $X \rightarrow Y$X→Y 是 $C \rightarrow C$C→C 或 $C \rightarrow$C→ ∅

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4.4.5 关于函数依赖的公理和定理

• 函数依赖的Armstrong公理

  设 $R(U)$R(U) 是属性集 $U=\{A_1,A_2,…,A_n\}$U={A1​,A2​,…,An​}上的一个关系模式，$F$F 为 $R(U)$R(U) 的一组函数依赖，记为 $R(U, F)$R(U,F) , 则有如下规则成立：

  • [A1]自反律(Reflexivity rule)：

  若 $Y \subseteq X \subseteq U$Y⊆X⊆U, 则 $X \rightarrow Y$X→Y 被 $F$F 逻辑蕴涵。

  • [A2]增广律(Augmentation rule)：

    若 $X \rightarrow Y \in F$X→Y∈F, 且 $Z \subseteq U$Z⊆U, 则 $XZ \rightarrow YZ$XZ→YZ 被 $F$F 逻辑蕴涵。

  • [A3]传递律(Transtivity rule)：

    若 $X \rightarrow Y \in F$X→Y∈F, 且 $Y \rightarrow Z$Y→Z, 则 $X \rightarrow Z$X→Z被 $F$F 逻辑蕴涵。

  公理的作用是 由已知的函数依赖推导出隐含的函数依赖。

• 函数依赖的Armstrong公理的正确性证明

  • [引理1]Armstrong’s Axiom规则A1, A2, A3是有效的(正确的)。

    

  • [引理2]由Armstrong‘s Axiom可推出如下结论：

    • (a) 合并律(Union Rule)：若 $X \rightarrow Y$X→Y 且 $X \rightarrow Z$X→Z, 则 $X \rightarrow YZ$X→YZ。
    • (b) 伪传递律(Pseudo Transitivity)：若 $X \rightarrow Y$X→Y 且 $WY \rightarrow Z$WY→Z, 则 $XW \rightarrow Z$XW→Z。
    • © 分解律(Decomposition Rule)：若 $X \rightarrow Y$X→Y 且 $Z \subseteq Y$Z⊆Y, 则 $X \rightarrow Z$X→Z
    • 

  • [引理3]如果 $A_1,A_2,…,A_n$A1​,A2​,…,An​ 是属性，则 $X \rightarrow A_1,A_2,…,A_n$X→A1​,A2​,…,An​ 当且仅当对每个 $A_i$Ai​ 有 $X \rightarrow A_i(1 \leq i \leq n)$X→Ai​(1≤i≤n)。

    证明略

• 属性（集）闭包

  对 $R(U, F) , X \subseteq U, U = \{A_1,A_2,…,A_n\}$R(U,F),X⊆U,U={A1​,A2​,…,An​}, 令：

  ​ $X^+_F= \{A_i |$XF+​={Ai​∣ 用Armstrong Axiom A1,A2,A3 可从 $F$F 导出 $X \rightarrow A_i\}$X→Ai​} 称 $X^+_F$XF+​ 为 $X$X 关于 $F$F 的属性(集)闭包。

  注：显然 $X \subseteq X^+_F$X⊆XF+​

  • [引理4] $X \rightarrow Y$X→Y 可从 $F$F 由Armstrong Axiom导出，当且仅当 $X \subseteq X^+_F$X⊆XF+​。

    

• Armstrong公理的完备性及其证明

  [定理]Armstrong Axiom A1,A2,A3是有效的和完备的。

  证明略

目录

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4.4.6 函数依赖集的最小覆盖

• 覆盖的概念

  对 $R(U)$R(U) 上的两个函数依赖集合 $F$F , $G$G , 如果 $F^+= G^+$F+=G+，则称 $F$F 和 $G$G 是等价的，也称F覆盖G或者G覆盖F

  • [引理5]：$F^+ = G^+ \Leftrightarrow F \subseteq G^+ \wedge G \subseteq F^+$F+=G+⇔F⊆G+∧G⊆F+

    

• 属性闭包的计算算法

  • [定理]Algorithm正确地计算了 $X^+_F$XF+​

  [Algorithm] 计算一属性集关于一组函数依赖的属性闭包。

  Input：有限属性集合 $U$U, $U$U 上的函数依赖集合 $F$F, 及 $U$U 的子集 $X$X

  Output：$X$X 关于 $F$F 的属性闭包 $X^+$X+ , 记为 $X^+_F$XF+​ 。

  Method：按下列规则递归计算属性序列 $X^{(0)}, X^{(1)},…$X(0),X(1),…

  1. 令 $X^{(0)}=X, i=0$X(0)=X,i=0
  2. $B = \{A | (\exists V)(\exists W)(V \rightarrow W \in F \wedge V \subseteq X^{(i)} \wedge A \subseteq W)\}$B={A∣(∃V)(∃W)(V→W∈F∧V⊆X(i)∧A⊆W)}
  3. $X^{(i+1)}=B \cup X^{(i)}$X(i+1)=B∪X(i)
  4. If $X^{(i+1)} \not= X^{(i)}$X(i+1)​=X(i) then $i=i+1;goto$i=i+1;goto 2.
  5. $X^+_F= X^{(i)}$XF+​=X(i), 算法终止。

  示例：

  

• 函数依赖集的性质

  [引理6]每个函数依赖集 $F$F 可被一个其右端至多有一个属性的函数依赖之集 $G$G 覆盖。

  

• 最小覆盖

  若 $F$F 满足以下条件，则称 $F$F 为最小覆盖(minimal Cover)或最小依赖集 (minimal set of Functional Depandency)：

  • $F$F 中每个函数依赖的右部是单个属性；
  • 对任何 $X \rightarrow A \in F$X→A∈F, 有 $F - \{ X \rightarrow A\}$F−{X→A} 不等价于 $F$F ；
  • 对任何 $X \rightarrow A \in F, Z \subset X, (F - \{ X \rightarrow A\}) \sub \{Z \rightarrow A\}$X→A∈F,Z⊂X,(F−{X→A})⊂{Z→A}不等价于$F$F。

  [定理]：每个函数依赖集 $F$F 都有等价的最小覆盖 $F'$F′。

  

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4.4.7 总结

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