线性代数系列讲解第九篇 线性变换

线性变换（linear transformation）

矩阵其实就是做线性变换，线性变换需要两个条件，其实跟向量空间有点像。
条件: 1. $T(v+w)=T(v)+T(w)$T(v+w)=T(v)+T(w)
$\qquad\,2.T(cv)=cT(v)$2.T(cv)=cT(v)
我们可以将上述两个条件写成一个式子也可以
$\qquad \qquad \qquad T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)$T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)
其中$T$T代表的是一种变换(或者映射(mapping))，$v$v,$w$w代表的是向量。
我们先举几个变换的例子，判断它是不是线性变换吧。
例子1：投影(Projection)
$T:R^2\rightarrow R^2$T:R2→R2

我们可以验证以上两个条件，满足以上两个条件，因此，投影是线性变换。
例子2：平面平移
$T: v\rightarrow v+v_0$T:v→v+v0​

我们看看这个变换符合条件不，它并不符合条件，因为若我们将$v$v翻倍，$T(v)$T(v)并没有翻倍。
例子3：取向量的模
$T:R^3\rightarrow R^1\\\;\\T(v)=||v||$T:R3→R1T(v)=∣∣v∣∣
我们可以发现这个变换也不符合条件，$T(-v)\neq -T(v)$T(−v)​=−T(v)
例子4：旋转变换
$T:R^2\rightarrow R^2$T:R2→R2

这个变换符合线性变换的条件，因此是个线性变换。

矩阵$A$A：$T(v)=Av$T(v)=Av

我们很容易知道它符合线性变换的条件：$A(v+w)=Av+Aw,A(cv)=cAv$A(v+w)=Av+Aw,A(cv)=cAv
举个例子：
$T:R^3\rightarrow R^2\\\;\\T(v)=Av$T:R3→R2T(v)=Av
其中$A$A是$2*3$2∗3矩阵，$v$v是$R^3$R3中的输入，而$T(v)$T(v)是$R^2$R2中输出。
对于每个$v$v来说，都可以写成由它空间的基形式表示：
$v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$v=c1​v1​+⋯+cn​vn​
例如：
$v=\begin{bmatrix}3\\2\\4\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$v=⎣⎡​324​⎦⎤​=3⎣⎡​100​⎦⎤​+2⎣⎡​010​⎦⎤​+4⎣⎡​001​⎦⎤​
我们对$v$v线性变换其实就是对它的基向量做线性变换，即
$T(v)=c_1T(v_1)+\cdots+c_nT(v_n)$T(v)=c1​T(v1​)+⋯+cn​T(vn​)
所以我们可以说，只要我们确定矩阵对基向量的影响，我们就可以知道矩阵对所有向量的影响。

接下来我们讨论一下构建一个矩阵$A$A来代表一种线性变换$T$T
$T:R^n\rightarrow R^m$T:Rn→Rm
在$R^n$Rn中选择一组基是$v_1,\cdots,v_n$v1​,⋯,vn​，在$R^m$Rm中选择一组基是$w_1,\cdots,w_m$w1​,⋯,wm​
$A$A中的第一列使$v_1$v1​变成
$T(v_1)=a_{11}w_1+a_{21}w_2+\cdots+a_{m1}w_m$T(v1​)=a11​w1​+a21​w2​+⋯+am1​wm​
$A$A中的第二列使$v_2$v2​变成
$T(v_2)=a_{12}w_1+a_{22}w_2+\cdots+a_{m2}w_m$T(v2​)=a12​w1​+a22​w2​+⋯+am2​wm​
举个例子，我们以投影来讲$n=m=2$n=m=2
$v = c_1v_1+c_2v_2\\\;\\T(v)=c_1v_1$v=c1​v1​+c2​v2​T(v)=c1​v1​
如图表示

我们可以写成矩阵的形式
$Av=\begin{bmatrix}c_1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\0\end{bmatrix}$Av=[c1​0​00​][v1​v2​​]=[c1​0​]
我们可以看出
$T(v_1)=c_1w_1+0w_2=c_1v_1\\\;\\T(v_2)=0w_1+0w_2=0$T(v1​)=c1​w1​+0w2​=c1​v1​T(v2​)=0w1​+0w2​=0
当我们基向量$w$w是矩阵$A$A的特征向量的话，矩阵$A$A必然是对角矩阵（特征值和特征向量讲）

由于矩阵$A$A是线性变换，因而矩阵的逆是线性变换的逆，矩阵的乘积是线性变换的乘积。