支持向量机SVM基本理论

转自：http://www.cnblogs.com/steven-yang/p/5658362.html

基本概念

• SVM - Support Vector Machine。支持向量机，其含义是通过支持向量运算的分类器。其中“机”的意思是机器，可以理解为分类器。
  什么是支持向量呢？在求解的过程中，会发现只根据部分数据就可以确定分类器，这些数据称为支持向量。
  见下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。
  

• 分类器：就是分类函数。

• 线性分类：可以理解为在2维空间中，可以通过一条直线来分类。在p维空间中，可以通过一个p-1维的超平面来分类。

• 向量：有多个属性的变量。在多维空间中的一个点就是一个向量。比如 。下面的也是向量。

• 约束条件(subject to) ： 在求一个函数的最优值时需要满足的约束条件。

• 向量相乘: 

• 内积: 

解决的问题：

• 线性分类
  在训练数据中，每个数据都有n个的属性和一个二类类别标志，我们可以认为这些数据在一个n维空间里。我们的目标是找到一个n-1维的超平面（hyperplane），这个超平面可以将数据分成两部分，每部分数据都属于同一个类别。
  其实这样的超平面有很多，我们要找到一个最佳的。因此，增加一个约束条件：这个超平面到每边最近数据点的距离是最大的。也成为最大间隔超平面（maximum-margin hyperplane）。这个分类器也成为最大间隔分类器（maximum-margin classifier）。
  支持向量机是一个二类分类器。

• 非线性分类
  SVM的一个优势是支持非线性分类。它结合使用拉格朗日乘子法和KKT条件，以及核函数可以产生非线性分类器。

• 分类器1 - 线性分类器
  是一个线性函数，可以用于线性分类。一个优势是不需要样本数据。
  classifier 1:
  

  
   和  是训练数据后产生的值。

• 分类器2 - 非线性分类器
  支持线性分类和非线性分类。需要部分样本数据（支持向量），也就是的数据。
  
  
  
  classifier 2:
  

  
  ,  和  是训练数据后产生的值。
  可以通过调节来匹配维度的大小，越大，维度越低。

核心思想

• SVM的目的是要找到一个线性分类的最佳超平面 。求  和 。
• 首先通过两个分类的最近点，找到的约束条件。
• 有了约束条件，就可以通过拉格朗日乘子法和KKT条件来求解，这时，问题变成了求拉格朗日乘子 和 。
• 对于异常点的情况，加入松弛变量来处理。
• 使用SMO来求拉格朗日乘子和。这时，我们会发现有些，这些点就可以不用在分类器中考虑了。
• 惊喜! 不用求了，可以使用拉格朗日乘子和作为分类器的参数。
• 非线性分类的问题：映射到高维度、使用核函数。

详解

线性分类及其约束条件

SVM的解决问题的思路是找到离超平面的最近点，通过其约束条件求出最优解。

对于训练数据集T，其数据可以分为两类C1和C2。
对于函数：
对于C1类的数据 。其中至少有一个点， 。这个点称之为最近点。
对于C2类的数据 。其中至少有一个点， 。这个点称也是最近点。
上面两个约束条件可以合并为：
。
是点对应的分类值（-1或者1）。
求和.
则超平面函数是。
为了求最优的f(x)， 期望训练数据中的每个点到超平面的距离最大。
（解释1: 这里需要理解一个事情，根据上图，我们可以给每个点做一条平行于超平面的平行线（超平行面），因此，这个最大化相当于求最近点到超平面距离的最大化。）

总结，现在我们的公式是：
Formula 6.1

几个训练脑筋的小问题：

• Q: y是否可以是其它非{-1， 1}的值?
  A: 将y值定义为{-1， 1}是最简化的方案。你的分类可以是cat和dog，只要将cat对应到1, dog对应到-1就可以了。你也可以将y值定义为其它数比如: -2, 2或者2, 3之类的，但是这样就需要修改超平面函数和约束条件，增加了没必要的繁琐，实际上和y值定义为{-1， 1}是等价的。

• Q: 如果两组数据里的太近或者太远，是不是可能就找不到 和的这两个点？
  A: 不会。假设可以找到 和 . 。其超平面函数为.
  上面公式左右同时除以c, 则：
  
  
  令:
  
  
  有:
  
  
  可以找到超平面函数:
  
  因此，总是可以找到y是{-1, 1}的超平面，如果有的话。

最大几何间隔（geometrical margin）

为函数间隔。
如果求，有个问题，就是w和b可以等比例增大，导致的间隔可以无限大。因此需要变成求等价的最大几何间隔：

 : 二阶范数，也就是各项目平方和的平方根。 

根据上面的解释，这个问题可以转变为：

再做一次等价转换：
Formula 6.2

求解问题

我们使用拉格朗日乘子法和KKT条件来求和，一个重要原因是使用拉格朗日乘子法后,还可以解决非线性划分问题。
拉格朗日乘子法和KKT条件可以解决下面这个问题：

1. 求一个最优化问题 
   刚好对应我们的问题：
2. 如果存在不等式约束。
   对应 
3. F(x)必须是凸函数。这个也满足。

SVM的问题满足使用拉格朗日乘子法的条件。因此问题变成：
Formula 6.3

消除之后变为：
Formula 6.4

是 和 的内积，相当于。
可见使用拉格朗日乘子法和KKT条件后，求的问题变成了求拉格朗日乘子和的问题。
到后面更有趣，变成了不求了，因为可以直接使用到分类器中去，并且可以使用支持非线性的情况（是线性函数，支持不了非线性的情况哦）。

以上的具体证明请看：
解密SVM系列（二）：SVM的理论基础
关于拉格朗日乘子法和KKT条件，请看：
深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)和KKT条件

处理异常点（outliers）

如上图：点w是一个异常点，导致无法找到一个合适的超平面，为了解决这个问题，我们引入松弛变量(slack variable)。
修改之间的约束条件为：
则运用拉格朗日乘子法之后的公式变为：
Formula 6.5

输入参数：

• 参数，越大表明影响越严重。应该一个大于0值。其实也不能太小，太小了就约束了，比如200。
• 参数，对所有样本数据起效的松弛变量，比如：0.0001。
  具体证明请看：
  解密SVM系列（二）：SVM的理论基础

求解 - 使用SMO方法

1996年，John Platt发布了一个称为SMO的强大算法，用于训练SVM。SMO表示序列最小优化（Sequential Minimal Optimization）。
SMO方法：
概要：SMO方法的中心思想是每次取一对和，调整这两个值。
参数: 训练数据/分类数据///最大迭代数
过程：

初始化为0；
在每次迭代中 （小于等于最大迭代数），
- 找到第一个不满足KKT条件的训练数据，对应的，
- 在其它不满足KKT条件的训练数据中，找到误差最大的x，对应的index的，
- 和组成了一对，根据约束条件调整, 。

不满足KKT条件的公式：
Formula 6.6

调整公式：
Formula 6.7

具体证明请参照:
解密SVM系列（三）：SMO算法原理与实战求解

最后一步：解决非线性分类

根据机器学习的理论，非线性问题可以通过映射到高维度后，变成一个线性问题。
比如：二维下的一个点, 可以映射到一个5维空间，这个空间的5个维度分别是:。
映射到高维度，有两个问题：一个是如何映射？另外一个问题是计算变得更复杂了。
幸运的是我们可以使用核函数(Kernel function)来解决这个问题。
核函数(kernel function)也称为核技巧(kernel trick)。
核函数的思想是：

仔细观察Formula 6.6 和 Formula 6.7，就会发现关于向量的计算，总是在计算两个向量的内积。
因此，在高维空间里，公式的变化只有计算低维空间下的内积变成了计算高维空间下的内积。
核函数提供了一个方法，通过原始空间的向量值计算高维空间的内积，而不用管映射的方式。
我们可以用核函数代替。

核函数有很多种, 一般可以使用高斯核（径向基函数（radial basis function））
Formula 6.8

可以通过调节来匹配维度的大小，越大，维度越低，比如10。
可以参照：
解密SVM系列（四）：SVM非线性分类原理实验
支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）

如何解决多类分类问题

支持向量机是一个二类分类器。基于SVM如何构建多类分类器，建议阅读C. W. Huset等人发表的一篇论文"A Comparison of Methods for Multiclass Support Vector Machines"。需要对代码做一些修改。