0205听课笔记1

简 单 数 论。

• gcd

• lcm

• gcd的应用：

  • 类欧几里得问题：$\sum_{x=1}^n\lfloor\frac{ax+b}c\rfloor$∑x=1n​⌊cax+b​⌋，$a,b,c,n\le 10^9$a,b,c,n≤109
    • 可假设$a\le c,b\le c$a≤c,b≤c，因为大于等于时减去一个$c$c，$a$a的贡献就在答案上加一个等差数列，$b$b就在答案上加一个$n$n就行了。而$a<c$a<c时，画个图发现$a,c$a,c可以翻转一下，就转化成了$a\ge c$a≥c的情况。就变成了一个递归，时间复杂度$O(\log n)$O(logn)
  • 裴蜀定理与$exgcd$exgcd：$ax+by=c$ax+by=c
  • 简单题：已知$a_1,a_2\in[l,r]$a1​,a2​∈[l,r]，求使得$a_k\equiv b(mod\ p)$ak​≡b(mod p)的$a_2$a2​有多少个，其中$a_i=a_{i-1}+a_{i=2}$ai​=ai−1​+ai=2​。$a_1$a1​已知，$k,b,p$k,b,p已知。
    • 直接把$a_k$ak​的系数算出来。然后$exgcd$exgcd。

• 欧拉定理：对于$(a,m)=1$(a,m)=1，有$a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m)$aφ(m)≡1(mod m)；对于$(a,m)\not = 1$(a,m)​=1，有$a^b\equiv a^{min(b,\ b\mod \varphi(m)+\varphi(m))}(mod\ m)$ab≡amin(b, bmodφ(m)+φ(m))(mod m)

• BZOJ 3884：
  

  • 利用欧拉定理，递归，模数变成了$\varphi(p)$φ(p)。而$\varphi(p)\le \frac p2$φ(p)≤2p​，所以最多有$\log$log层。

• 素数：

  • 判素数。
    • 暴力$O(\sqrt n)$O(n​)
    • Miller_Robin。
  • 质因数分解。
    • 如何分解$n!$n!？线性筛
    • Pollard-Rho
    • 质数个数。
      • 
        

• 中国剩余定理：$x\equiv m_i(mod\ m_i)$x≡mi​(mod mi​)，$m_i$mi​两两互质

  • 不互质？
  • 例题：NOI2018 屠龙勇士：模板裸题
  • 例题：GCD Table：给出$n\cdot m$n⋅m的数表，其中第$i$i行$j$j列是$gcd(i,j)$gcd(i,j)，再给定一个长度为$k$k的数列$a$a，判断其是否在数表的某一行出现过。$n,m\le 10^{12},k\le 10^4$n,m≤1012,k≤104
    • 

• 阶：

• 原根：此处的指g模p的阶。

• BSGS：

• exBSGS：

• 多项式复合：已知$f(x),g(x)$f(x),g(x)，求$f(g(x))\mod x^m,n\le m\le4000$f(g(x))modxm,n≤m≤4000

  • 
  • 板题连接

• SDOI2015 序列统计

• Lucas定理
  

  • 例题：
    • 卢卡斯定理把它转化为p进制下每一位的组合数，然后数位DP。
  • 例题：小Q的集合
    
  • 
    右边爆算，左边就是二项式定理等于$2^{\frac nm}$2mn​。

• 扩展Lucas

  • 对大质数取模
  • 无需预处理的扩展卢卡斯