一、绪论
1. 决策就是依据客观条件在有限时间内作出符合主观要求的决定
2. 决策的考虑因素：承担风险的规模和影响时间，计划的灵活程度，对人的影响
3. 决策考虑的方面：从一个目标出发，一组备选方案，可能的后果及对应概率，方案评估
二、效用
1. 效用定义及假设
效用：效用是在有风险的情况下决策人对后果的偏好的量化
假定：任何两个可能的后果均可比较；任何不确定的后果均存在等价的确定性后果；C的引入并不改变对A、B的看法
展望：选择某一行动后的所有可能后果及其概率P=(p1, C1; p2, C2; ……; pn, Cn)
2. 效用函数估计方法
①使用确定当量进行估计，找出两个典型后果C1、C2（最好&最坏）作为基准，对于C1 ≺Ci≺C2，找出Ci~(p1, C1; 1-p, C2)，则有u(Ci)=p1u(C1)+(1-p)u(C2)，令u(C1)=1，u(C2)=0
②检验效用的一致性：计算出多个Ci的效用后，可在Ci间再构建等价关系，如C4~(p, C3; 1-p, C5)，可计算u’(C4)，与u(C4)进行比较，差距较大时需要修正
③效用函数类型判断：函数两端假设为X1、X2，0.5[u(X1)+u(X2)]和u(0.5X1+0.5X2)，前者大时为冒险型，否则保守型
三、决策准则
1. 最大最小准则（悲观）
假设决策者有m个方案，n个状态，选择行动di时可能后果为Ci1,Ci2,…,Cin，则取所有可能的后果中收益最小的记为Ci0，之后在所有Ci0中选择收益最大的C0，即C0=maximinjCij
例如：
2. 最小最大准则
定义后悔值ρij=maxkCkj-Cij ，每个值与同状态下最好的方案比较计算后悔值，每个方案选最大的后悔值，再选最大后悔值中的最小一个方案，即ρ0=minimaxjρij
※增加新的方案可能使原有方案的判断反转
例如：
3. 最大最大准则（绝对乐观准则）
C0=maximaxjCij
4. 期望值准则（知道概率分布的条件下）
对每个方案计算期望收益Ai=j=1npiCij ，然后取期望最大的方案
5. 期望机会损失准则（与期望值准则对偶，结论相同）
期望机会损失Li=j=1npiρij ，选期望机会损失最小的行动方案
6. 拉普拉斯准则
信息不完全时，假设各状态概率均匀分布，再选择期望最大的方案
7. 均值-方差准则
计算不同方案的期望与方差，J=αEX-(1-α)VX ，根据决策者自身情况确定α。
8. 目标驱动准则
决策者设定目标收益τ，使收益尽可能接近目标，同时考虑决策者的风险厌恶/风险追逐程度。如下图中k>0时表示风险厌恶，选择使J最小的Q
四、决策树和影响图
1. 决策树
分析步骤：
①画决策树，将发展的可能性表示出来
②预计可能的事件发生的概率（历史资料、专家估计、试验等）
③估计结果结点的盈亏值ui
④求最佳决策方案max ui
2. 影响图（表示不确定依赖关系和信息流）
包括决策节点，机会节点，价值节点（即结果），确定性节点（双框的，价值节点双框单框同义）
实线表示前一节点影响后一节点（指向机会节点），虚线表示信息流方向或决策次序（指向决策节点）
性质：
①对一个具体问题可能存在多个影响图（如利润受收入费用影响，也可以拆分为不同产品利润之和）
②影响图可以表达不同程度的细节（如利润细化为收入与费用）
构造步骤：
①识别决策方案，画出决策节点和价值节点
②考虑价值节点的度量指标
③考虑决策节点以外影响目标的环境因素
④进一步获取关于不确定事件的信息
五、贝叶斯决策
1. 损失函数
l(θ,d)=-u(θ,d) 决策问题在状态θ且采取的行动为d时对决策人产生的损失
如平方损失函数(θ-d)2，线性损失函数k0(θ-d), θ-d≥0; k1(θ-d), θ-d＜0
2. 决策规则
需要通过观测的X判断θ，产生决策，决策规则记为δ(X)：X⇒ D
类似地可定义随机决策规则δ*(X)，表示观测到X时使用D中各个d的概率
所有随机决策规则的集合记为△*（随机决策规则的空间）
3. 风险函数
给定θ情况下l(θ,δ(X))的期望值为风险函数R(θ,δ)=EXl(θ,δ(X))
4. 贝叶斯风险
r(π,θ)=EπR(θ,δ)= EπEXl(θ,δ(X)) π(θ)为先验概率密度函数
5. 贝叶斯公式
6. 充分统计量
令{X1, X2, …, Xn}是一个来自密度f(x|θ)的随机样本， T＝r(X1, X2, …, Xn)是一个统计量，如果已知T(X)＝t时，X的条件分布与参数θ无关，那么T(X)称为θ的充分统计量
7. 决策原则
贝叶斯原则：贝叶斯风险小的决策规则更优
极小化极大原则：对于随机决策规则，先找每个规则下风险最大的θ时的风险，再找极大风险最小的一个（比贝叶斯原则保守）
六、信息的价值
完全信息期望值EVPI：EVPI=Eπmaxd∈Du(d,θ)-maxd∈DEπu(d,θ)
Eπmaxd∈Du(d,θ)表示已知具体某个θ将发生的条件下选择d的收益，对θ取期望的收益
maxd∈DEπu(d,θ)表示只知道π(θ)的条件下通过计算期望效用选择d的最大收益
抽样信息期望值EVSI：EVSI=maxd∈DEπExu(δ(x),θ)-maxd∈DEπu(d,θ)
maxd∈DEπExu(δ(x),θ)表示已知某与θ相关的x的信息下选择d=δ(x)的最大收益
信息获取：
①固定样本容量：预先确定样本的容量n，贝叶斯风险为：
计算最佳样本容量n*使得
②序贯分析法：事先不指定样本的容量，每一次试验后作判断，若数据已经可以用于决策则不需要后面的样本（如产品验收次品率问题，次品数够了之后可以不用再检测）
七、多目标决策（一）
最大的问题：目标间不可公度性，目标间矛盾性
1. 目标决策分析一般步骤：
①了解问题：分析问题并提出要达到的目标
②构成问题：将整体目标细化为具体目标，及相应的影响因素
③构造模型：选择关键变量及其关系等
④分析评价：方案集A，状态集S，后果集C（A×S），目标集Y，展望集P（每个方案对应一个展望）
基于决策规则给方案排序，包括最优规则（基于某个基准将所有方案排成完全次序）和满意规则（将可行集划分为几个有序子集后，同一子集难以区分优劣）
2. 非劣解：不存在其他方案在各个属性均更优
3. 有限方案/无限方案
有限方案可直接使用后果集（目标集×状态集）进行判断
无限方案多目标决策可表示为Max/Min f(x)=[f1(x),…,fn(x)] 其中x为决策变量向量，fi(x)为目标函数，此时需要找到一个标量函数V(f1(x),…,fn(x))将目标转为求V(·)的极值
4. 数据规范化
不同属性量纲不同，为方便统一考虑需进行规范化，可用的包括
zij=yij/i=1nyij2 ，zij=yij/maxiyij
，zij=(yij-miniyij)/(maxiyij-miniyij)
zij=(maxiyij-yij)/(maxiyij-miniyij) ，
八、多目标决策（二）
1. 加权法
设有n个目标，两两比较重要性，得到n×n判断矩阵A（互反阵），其中i目标相对j目标的重要性aij=1aij≈ωi/ωj ，ωi
为目标i的权重，要求出尽可能符合判断矩阵的权重
①最小平方法：minωL=i=1nj=1naijωj-ωi2+2λ(i=1nωi-1)
②特征向量法：判断矩阵A一致（aij=aikakj ）时(A-nI)=0，一般实际情况为(A-nI)≈0，有Aω=λmax ω 代入最大特征值λmax并使iωi=1
※一致性判断：A一致时rank(A)=1，只有一个非零特征值λmax =n，可用一致性指标（CI）μ=λmax-nn-1 ，μ越小越好
2. 目标规划法
决策者先定下一个理想目标f ，则模型目标为minxdfx,f=ωjfjx-fjp1p
规划目标可写成： ，p表示该字母表的优先级，ω为过偏差/欠偏差的权重
若子目标有优先级，则先优化第一优先级目标，若结果为集合则再优化下一优先级
3. 逐步求解法
①计算每个子目标的理想点及对应情况下其他子目标的值，构建支付表，可以得到理想点f*=(f1*,…,fn*) ，其中fix=j=1mcijxj
②求调和解：（最小化距离最远的子目标）
等价于：
③与决策者对话：在得到一组x的解后，决策者可以进行参考并调整一些约束，从而得到新的解
4. 参考点法
目标规划基础上加入交互。决策者先给出一个目标（参考点），使用目标规划法计算最好结果，决策者根据结果调整参考点，以此迭代至决策者满意
5. Geoffrion法
假设存在统一的标量价值函数V(·)，需要寻找使V(·)最大的解。
①选择一个初始点：选择一个初始的x，计算对应的各目标函数值f
②寻找价值函数V的改进方向：对k个子目标需要两两比较计算当下ω值，若当前f=[f1,f2,f3]，可问f~[f1+Δ1,f2-Δ2,f3]，则Δ1/Δ2 为f1相对于f2的权重。使用新权重可以得到新的f并可以求出新的解x，旧解到新解的向量即为改进方向
③确定步长t：可以按改进方向划分为五等份让决策者挑选最佳步长
④如此迭代直至达到停止条件（如使用两次改进程度大小的比值）
九、马尔可夫决策
平稳马尔可夫过程：过程与初始状态无关，而只与经历时间长度有关，即
假设转移矩阵为P，则m步状态转移矩阵为Pm。
若P为严格正矩阵（没有0或负数），则P有唯一最大特征根λ=1，使pTP=pT。转移矩阵或其若干次方中如有严格正的矩阵，则存在极限概率P∞，且其中每一行与p相同
互通：若状态i，j存在i→j及j→i（可以在不同时间），则i、j互通
遍历集：马尔科夫链中某个全部互通的子集，所有状态在同一个遍历集中时称为遍历链
遍历链包括循环链（转移矩阵大于等于0且0消除不了出现周期变化）和遍历性的马氏链（转移矩阵的若干次方全大于零）
马氏链中不属于遍历集的状态（遍历状态），称为暂态（一直进行下去遍历集外的状态概率逐渐归零）
吸引状态：马氏链中若有某个状态进入后不能再离开，则为吸引状态（遍历状态的子集）
Z变换：
选择马尔可夫链最大化收益：无限期时计算极限状态，有限期时计算总收益