整数拆分问题

第一种

给定n，求把n拆分成若干个不相等的数的方案数。
设f[i][j]$f[i][j]$表示把j拆成i个数。
考虑要不要新添加一个数，并把之前的数全部加一。
f[i][j]=f[i−1][j−i]+f[i][j−i]$f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]$
由于数不相等，数的个数不超过n−−√$\sqrt{n}$
那么时空复杂度O(nn−−√)$O(n\sqrt{n})$

第二种

我写的很简略，这里有pty的详细解释
给定n，求把n拆分成若干个数的方案数，可以相同。
我们要使用到广义五边形数。
五边形数（非广义）长这样。形如k∗(3k−1)2$\frac{k\ast (3k-1)}{2}$（盗图）（逃

广义五边形数是k∗(3k+1)2$\frac{k\ast (3k+1)}{2}$,k∗(3k−1)2$\frac{k\ast (3k-1)}{2}$
前几项是0,1,2,3,5,7,12,15,22
设P(n)$P(n)$为拆分方案数
五边形数定理：P(n)−P(n−1)−P(n−2)+P(n−3)+P(n−5)...=0$P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-3)+P(n-5)...=0$
其中P(0)=1，n小于0时P为0。
那么P的递推式是
P(n)=∑k≥1(−1)k+1[P(n−k∗(3k+1)2)+P(n−k∗(3k−1)2)]$P(n)=\sum _{k\ge 1}(-1{)}^{k+1}[P(n-\frac{k\ast (3k+1)}{2})+P(n-\frac{k\ast (3k-1)}{2})]$
注意到k的级别是n−−√$\sqrt{n}$的，那么时间复杂度也是O(nn−−√)$O(n\sqrt{n})$