alpha-expansion 基础：https://blog.csdn.net/nothinglefttosay/article/details/48554555
这个算法是一个自适应移动距离的算法。为了在每一次迭代过程中找到最好的移动距离，寻找标签α使得对应的α标签的移动能够让能量函数下降的最多。
这个算法受启发于Komodakis在扩展算法中对原始-对偶的解释。
当前解的对应能量和对偶线性规划目标分别提供了最优解能量的上限和下限。它们的差值被称为原始-对偶间隙。产生这一现象的原因是一个求max，一个求min，并且由于是NP难问题，其中存在松弛，所以会产生差距。
互为对偶的线性规划有最优解的充分必要条件是同时有可行解。
这篇文章借助的主要现象是：与不同的扩展移动距离相对应的原始-对偶间隙的相对下降可以利用该问题的原始和对偶变量来近似构造。也就是说移动距离对应于原始-对偶间隙。
符号的申明：[n]表示集合{1,2,3...,n}；离散随机变量x={xi|i∈[n]}；xi∈L=[k]；|L|个可能移动的距离（对应了每一个可能的标签在L中）；是一张被上述符号定义了的图。其中
。
优化能量函数如下：，其中θi表示节点i能量，θij表示边缘能量。
关于alpha-expansion move
首先初始化一个解，然后通过一系列的迭代改变使能量降低。
在标签α∈L上的α扩展允许任何随机变量保持当前标签，或变成α标签。
该算法的一次扫描涉及连续地以某种顺序对所有α∈L进行移动。并且定义了θij的标准。
关于MAP推论区
设作为指标变量，其含义是
令做为节点i的指标变量和能量的矢量。
让uij和θij也类似定义。
利用以上符号，转换公式(1)如下：
其中，(3a)由1转换来，(3b-d)为限制条件，b表现为一个i节点只能属于一个类，c表现为ij的相邻关系。
这是一个NP难问题，使用放松限制条件求解
关于原始-对偶推理的扩展
Komodakis提出如下对偶线性规划：
其中，，表示节点i的邻居。
上式每一个可行解都表现为下限。具体为：。
对于任何的原始标签xp，原始-对偶间隙表现为，另外有一组特解
，是当且仅当
的近似解。
如果定义，和
，
将促使
近似比。当且仅当
(7a-c)对应(4)中的限制条件。
举个例子，hi的大小表现为下图的高度。
7a要求球的高度对应于原始标签的最小值。
可看出hj是符合的，hi是不符合的。
由于发现可以通过增大yji实现增加α在点i处的高度。但是由于7c的限制关系，
所以增大hi会使hj减少至少相同的数量。
本文算法局部原始-对偶扩展移动
这个算法重点是加速算法，并且自适应的扩展移动。提出了一种启发式算法，将标签打分，帮助决定哪一个标签会被扩展。
对于一对解，LPGD被定义为
LPDG中正值表示违反了补充的松弛条件，可以认为hi是许多lpdg亏欠的值。
负值则认为满足补充的松弛条件，是许多lpdg的多余。
hi的亏欠需要被修正通过算法和一些相邻的多余的hj。
lpdg(α,i)量化了在点i处，标签α违反了补充松弛条件的数量。
lpdg(α,j)表示多少数量在点j可帮助更正违反.
为了能够使能量下降的最快，需要选择亏欠最大的标签α，也要确保有足够的多余量，确保的确有提升。计算如下三个分值。
W1表示亏欠的节点数 w2表示每个节点亏欠了多少 w3表示亏欠和多余量的总和
- LPDG-sweep，使用基于LPDG评分函数的标签排列，以每次扫描执行α-expansion move，更新
- LPDG部分扫描，其中基于LPDG的标签重新排序会在α-expansion move后进行。