【运筹学】线性规划数学模型 ( 求解基矩阵示例 | 矩阵的可逆性 | 线性规划表示为 基矩阵 基向量 非基矩阵 非基向量 形式 )

文章目录

• 一、求解基矩阵示例
• 二、矩阵的可逆性分析
• 三、基矩阵、基向量、基变量
• 四、线性规划等式变型

一、求解基矩阵示例

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求如下线性规划的基矩阵 :

$\begin{array}{lcl} max Z = 4x_1 - 2x_2 - x_3 \\ \\ \begin{cases} 5 x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 3 \\\\ -10x_1 + 6x_2 + 2x_3 + x_5 = 2 \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 , 3, 4,5) \end{cases}\end{array}$maxZ=4x1​−2x2​−x3​⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​5x1​+x2​−x3​+x4​=3−10x1​+6x2​+2x3​+x5​=2xj​≥0​(i=1,2,3,4,5)​​

求解过程 :

系数矩阵 : 上述线性规划的约束方程的系数矩阵为 $\begin{bmatrix} &5 & 1 & -1 & 1 & 0 & \\\\ & -10 & 6 & 2 & 0 & 1 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​5−10​16​−12​10​01​​⎦⎤​ , 这是一个 $2 \times 5$2×5 矩阵 , $2$2 行 , $5$5 列 , 有 $2$2 个约束方程 , $5$5 个变量 ;

其 $2$2 阶的子矩阵有 $C (5 , 2)$C(5,2) 个 , 这是组合计算公式 ; 单纯的从 $5$5 个向量中选出 $2$2 个向量 , 不用进行排列 ;

$\begin{array}{lcl}C (5 , 2) &=& \dfrac{P(5, 2)}{2!} \\\\ &=& \dfrac{5!}{3! \times 2!} \\\\ &= & \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3\times 2 \times 2}\\\\ &=& 10 \end{array}$C(5,2)​====​2!P(5,2)​3!×2!5!​3×2×25×4×3×2×1​10​

从上述 10 个 $2$2 阶方阵中 , 将基矩阵挑选出来 ;

基矩阵的条件 : 矩阵是可逆的 ;

其中有一个子矩阵 $\begin{bmatrix} &5 & -1 & \\\\ & -10 & 2 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​5−10​−12​​⎦⎤​ 该矩阵是成比例的 , 不是基矩阵 ;

$10$10 个 $2$2 阶子矩阵中 , 有 $1$1 个不是可逆矩阵 , 其余 $9$9 个都是可逆矩阵 , 因此下面的 $9$9 个矩阵是基矩阵 :

$B_1 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}$B1​=⎣⎡​​5−10​16​​⎦⎤​ , $B_2 = \begin{bmatrix} &1 & -1 & \\\\ & 6 & 2 & \end{bmatrix}$B2​=⎣⎡​​16​−12​​⎦⎤​ , $B_3 = \begin{bmatrix} &5 & 0 & \\\\ & -10 & 1 & \end{bmatrix}$B3​=⎣⎡​​5−10​01​​⎦⎤​ ,

$B_4 = \begin{bmatrix} &1 & 1 & \\\\ & 6 & 0 & \end{bmatrix}$B4​=⎣⎡​​16​10​​⎦⎤​ , $B_5 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 0 & \end{bmatrix}$B5​=⎣⎡​​5−10​10​​⎦⎤​ , $B_6 = \begin{bmatrix} &-1 & 0 & \\\\ & 2 & 1 & \end{bmatrix}$B6​=⎣⎡​​−12​01​​⎦⎤​ ,

$B_7 = \begin{bmatrix} &-1 & 1 & \\\\ & 2 & 0 & \end{bmatrix}$B7​=⎣⎡​​−12​10​​⎦⎤​ , $B_8 = \begin{bmatrix} &1 & 10 & \\\\ & 6 & 1 & \end{bmatrix}$B8​=⎣⎡​​16​101​​⎦⎤​ , $B_9 = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}$B9​=⎣⎡​​10​01​​⎦⎤​ ;

二、矩阵的可逆性分析

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矩阵的可逆性分析 :

矩阵可逆 :

• 可逆前提 : 分析矩阵是否可逆 , 前提是该矩阵是一个方阵 ;
• 行列式为 $0$0 : 求方阵 $B$B 的行列式 , 只要该行列式不为 $0$0 , 该矩阵就是可逆的 ;

行列式计算 : 使用对角线法 , 或行列余子式进行计算 , 参考以下链接 :

• n阶行列式的计算方法
• 三阶行列式

$2$2 阶方阵行列计算方法 : 本篇博客中涉及到 $2$2 阶方阵的行列式 , 其行列式就是对角线乘积相减 ;

如上述矩阵 $\begin{bmatrix} &5 & -1 & \\\\ & -10 & 2 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​5−10​−12​​⎦⎤​ , 其对角线乘积相减 :

$\begin{array}{lcl} D &=& \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -10 & 2 \\ \end{vmatrix}\\\\ &=& (5 \times 2) - ( -1 \times -10 ) \\\\ &=& = 10 - 10\\\\ & = & 0 \end{array}$D​====​∣∣∣∣​5−10​−12​∣∣∣∣​(5×2)−(−1×−10)=10−100​

该矩阵行列式计算结果为 $0$0 , 不是可逆矩阵 ;

可逆矩阵都可以写成阶梯型矩阵 ; 进行矩阵变换后 , 就可以变成阶梯矩阵 ;

三、基矩阵、基向量、基变量

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上述 $9$9 个矩阵都是可逆矩阵 , 都可以作为基矩阵 , 当选中一个基矩阵时 , 其对应的列向量就是基向量 , 对应的变量 , 就是基变量 , 剩余的变量是非基变量 ;

选中 $B_1 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}$B1​=⎣⎡​​5−10​16​​⎦⎤​ 作为线性规划的基矩阵 , 该基矩阵对应的基向量是 $\begin{bmatrix} &5 & \\\\ & -10 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​5−10​​⎦⎤​ 和 $\begin{bmatrix} & 1 & \\\\ & 6 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​16​​⎦⎤​ , 对应的基变量是 $x_1$x1​ 和 $x_2$x2​ , $x_3 , x_4, x_5$x3​,x4​,x5​ 是非基变量 ;

选中 $B_9 = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}$B9​=⎣⎡​​10​01​​⎦⎤​ 作为线性规划的基矩阵 , 该基矩阵对应的基向量是 $\begin{bmatrix} &1 & \\\\ & 0 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​10​​⎦⎤​ 和 $\begin{bmatrix} & 0 & \\\\ & 1 & \end{bmatrix}$⎣⎡​​01​​⎦⎤​ , 对应的基变量是 $x_4$x4​ 和 $x_5$x5​ , $x_1 , x_2, x_3$x1​,x2​,x3​ 是非基变量 ;

基是不唯一的 , 基向量不是固定的 , 基变量也不是固定的 , 非基变量也不是固定的 ;

确定基矩阵后 , 才能确定基向量 , 基变量 , 非基变量 ;

不管选哪个矩阵作为基矩阵 , 基变量的个数是不变的 , 始终是 $2$2 个 ;

基变量不固定 , 基变量的个数是固定的 ;

基变量是 $2$2 个 , 非基变量是 $3$3 个 , 这是确定的 ;

线性规划的最终目的是求解 ; 求可行解 , 求最优解 ;

求解就是求 线性规划标准形式 , 约束条件等式的方程组的解 , 只要是等式 , 就可以解除满足条件的解 ;

解方程组的方法就是高斯消元法 , 将系数矩阵变成阶梯形的矩阵 , 只有矩阵是可逆矩阵的情况下 , 才能变成阶梯矩阵 , 就是上述的基矩阵 ;

四、线性规划等式变型

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解如下方程 :

$AX = b$AX=b

其中 $A$A 是 $m \times n$m×n 矩阵 , $X$X 是 $m \times 1$m×1 向量 , $b$b 是 $m \times 1$m×1 向量 ;

如下展开为 :

$\bigl( \ P_1 \ P_2 \ \cdots P_m \ P_{m+1} \ \cdots \ P_n \bigr) \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_m\\ x_{m+1}\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}=b$( P1​ P2​ ⋯Pm​ Pm+1​ ⋯ Pn​)×⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xm​xm+1​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​=b

$A$A 矩阵是由一系列向量组成 , 其一定有可逆的子矩阵 , 即基矩阵 ;

假设前 $m$m 个向量组成的矩阵是可逆矩阵 ,

前 $m$m 个列向量构成可逆矩阵 $B$B , 可逆矩阵 $B$B 中的列向量对应的变量是 $m$m 个基变量 $X_B$XB​ ;

后面的 $n - m$n−m 个列向量后构成矩阵 $N$N , 这是非基矩阵 , 其对应的 $n - m$n−m 个变量是非基变量 $X_N$XN​ ;

整个线性规划表示为 : $BX_B + NX_N = b$BXB​+NXN​=b