磁场与电场及相对性

麦克斯韦方程组完全刻画了电场和磁场的形态。

在静止情况下，Maxwell方程是两组分立的方程，分别描述了电场矢量和磁场矢量；一个矢量场完全由其散度和旋度唯一的确定，描述电场和磁场的两组方程正好是其散度和旋度。

静止坐标系下磁场方程：

∇D=ρ

∇×E=0

静止坐标系下磁场方程：

∇B=0

∇×H=J

可见，电场和磁场完全是分离的两种物质。

对于一个带电体，众所周知，会受到另一个带电体的作用力，我们也知道这个作用力是带电体在空间中产生的电场在另一个带电体上的表现形式。库仑力为

F=qE

对于一个静止的带电体，放在一块磁铁旁边不会发生任何运动的趋势（假设带电体未被磁化），即不受力。但是，如果这个带电体是运动的，则会受力，即洛伦兹力

F=qv×B

直观上，会看到一个神秘的对应关系，对于任何一个带电体，E和v×B所起的作用貌似一样，冥冥之中是不是暗示着电场和磁场之间有一定的关联呢？

就是这样，电场和磁场之间还真是有联系。起着纽带作用的便是那个不起眼的速度v，这个v正是自然界内部所蕴藏的一个深刻理论—-相对性原理—-在机智的物理学家面前不小心漏出的尾巴。

从历史上看，相对性原理出现在Maxwell方程之后，但是，正是爱因斯坦对电和磁的研究才最终导致了相对性原理的发现，其实Maxwell和前辈们比如法拉第、安培等已经将相对性原理的尾巴揪了出来，而最终让其真相面世的是目光敏锐的老爱同学。

完整的Maxwell方程为

∇D=ρ

∇×E=−∂B∂t

∇B=0

∇×H=J+∂D∂t

大道至简，大美无形。Maxwell方程以极其简洁优美的姿态展示了自然界关于电磁现象的一切本质。

可见，电磁是一家。静电和静磁只是特例而已。

关于电磁场在相对性原理中的一个有趣例子（Feynman物理学讲义13-6）：

题目：假定一个负电荷以速度v0平行于一根载流导线而运动，基于以下两种参考系，会发生什么有趣情况。（a）坐标系固定在导线上，即S系；（b）坐标系固定在粒子上，即S′系；

解：
建立一个圆柱坐标系，以向右为正。

对于情况a，这是大众情况，导线不动，电荷运动。很显然（sorry，高考遗留下的毛病，数学老师教的），电荷受到一个磁力，那方向如何大小如何？用洛伦兹力就可以搞定了。

（tips：解决高维物理问题最好用矢量运算，会有意想不到的好处）

速度矢量v0=v0z^，磁场矢量B(r)=−Bθ^，这里把磁场写成B(r)是因为无限长直导线的磁场是旋转对称的，负号是因为电流沿着−z方向。

那么洛伦兹力为（公式输入真烦人）

对于负电荷，力沿着径向指向导线。是一种吸引力。这就可以解释为什么两个导线电流同向时相互吸引，因为电子是负电荷！

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对于情况b，就有点迷惑了。因为坐标系固定在粒子上，即粒子不动，而导线向着粒子原先运动的反方向以相同速率在运动。

因为粒子不运动，所以不会受到磁场力。但是一根通电导线外部存在电场力吗？很显然（大多数人都认为）是没有的，因为导体里正负电荷相等，对外没有净电场。

但是，老爱的相对性原理说物理规律不因惯性系的选择而有差别，即惯性系都是等价的，用数学化的语言说就是一切物理定律在洛伦兹变换下数学形式不变，即协变。

但是根据经验，a情况里粒子受到一个指向导线的力，而b情况里粒子不受力。

难道是老爱的相对论出错了？还是咱们的直觉不对？

其实，老爱能那么出名还是有一定道理的。经过缜密计算发现，咱们的直觉错了。所以，不要轻易相信直觉，也不要轻易相信牛逼的人说搞物理凭直觉，那为啥咱们的直觉往往不对呢？朗道、泡利、费曼等人经常说自己凭直觉搞物理，不要听这些大忽悠。

为了简化分析（这是物理学家最得意的描述方式，也是数学家最鄙视物理学家的地方），考虑粒子运动速率v0与导线里传到电子运动速率v相同的情况，即假设

v=v0

此时再关注S′系，立即得到，在这里传导电子速率为0，而原子核电荷却以−v0运动。

原子核电荷运动不是照样也没卵用吗，粒子是静止的啊。看来磁场是没法起作用了，那就必定来自电场。但电场在哪里？

现在到了最有趣的地方了。发生了什么？运动导线里的净电荷密度不再为0！What？这正是相对论效应的一个体现点。

电荷密度的定义是总电荷除以体积。而电荷守恒是亘古不变的真理，那么电荷密度变了看来是因为体积变了。

而体积是面积的推广，也就是长度的推广。根据爱因斯坦相对论，运动时钟慢尺缩。所以，长度收缩导致体积在运动方向上跟着收缩，导致密度变大。

在S′系，导线长度由静止时的L0（原长）变为L=L0/γ，则密度变为ρ=q/L=γq/L0=γρ0。

可见，电荷密度与质量的相对论变化是一样的。我们得到了一个普遍关系，可以很方便地在不同的惯性系里变换密度。

假设S系里正负电荷密度分别为ρ+和ρ−（要记住，在这里正电荷静止而负电荷运动），因为导线是中性的，所以立即得出

ρ+=−ρ−

假设在S′系里，正负电荷密度分别为ρ′+和ρ′−（要记住，在这里正电荷运动而负电荷静止），套用电荷密度的相对论变换公式，则有

ρ′+=γρ+

ρ′−=ρ−γ

最终，S′系里的电荷密度为

ρ′=ρ′++ρ′−=ρ+(γ−1γ)

因为γ>1，所以ρ′>0。可见，顺着电流方向运动的导线带正电！

现在很明显了，正是这个正的电荷密度对粒子产生了吸引力。

接下来的问题就是验证这两个力（S系的磁力和S′系的电力）相等。

在运动系S′下，粒子感受到的电场力（记住，是径向力）为

F′=qE′

根据电磁场的洛伦兹变换，即

E′∥=E∥

E′⊥=γ(E+v×B)⊥

所以，

F′=qE′⊥=γqv×B

在公式最右边没有电场项，因为在静止系里E=0（导体为中性）。

结合情况a中粒子的受力F，可以立即得出

F′=γF

现在要证明的问题变成了该等式是否成立，如果成立则说明S系的磁力和S′系的电力相等，若不成立，则两者不相等，从而相对性原理也就是一个错误原理了。

对于一个粒子来说，无论考虑相对性效应与否，其受力都可以通过牛二定律来求，即

F=dpdt

在S系里，

F=dpdt

在S′系里，

F′=dp′dt′

根据相对性原理，所有惯性系等价，即发生的物理结果都一样。在这里，物理结果就是粒子因为外力产生了横向动量，所以

dp=dp′

在S系里，粒子是运动的，而在S′系里粒子是静止的，所以，根据相对论效应的钟慢尺缩效应，有

dt=γdt′

最终得到

F′=γF

证明完毕。
可见，在这两种条件下相对性原理肯定是成立的。

在分析过程中，求解了电荷密度，但是没有具体求解电磁场，只是用他做了个运动导体产生电场的定性分析。而等价性证明用到了最一般最普适的方法。

Of course，通过电流和电荷密度求解电磁场也能得到等价性证明。做起来也很容易。

在a情况下，通过稳态电流的长直导线产生的磁场可以由安培定律（Maxwell第四方程）来求解。磁场旋度为

∇×H=J

对公式两边求面积分并利用斯托克斯定理，得到

∮Hdl=I

则距导线中心为r处的磁场为

H=I2πrθ^

磁通密度为

B=μ0H=μ0I2πrθ^

粒子受到的力为

F=qv0Br^=μ02πqIvrr^

这里将粒子速率与传导电子速率做了相等简化，与之前的讨论保持一致。

在b情况下，导线电荷密度已知，同时导线是轴对称的，则可以通过高斯定理（Maxw第一方程）来求解电场。静电场散度方程为

∇D=ρ

在圆柱上选取一个封闭高斯面，对上式两边同时做体积分，并利用散度定理或叫高斯定理，得到

∮∮D′ds=Q′=D′2πrl′=ρ′Al′

所以，电场强度为

E′=ρ′A2πrϵ0r^

粒子受到的力为

F′=qE′=q2πϵ0ρ′Arr^

现在将两个坐标系下的受力作比值，如果只为γ，则两惯性系等价，相对性原理成立。

|F′F|=1μ0ϵ0ρ′AvI=1μ0ϵ0ρ′Avρ+vA=γ−1γβ2=γ

可见，等价性成立！这里用到的公式（I=ρ+vA，μ0ϵ0=1/c2，β=v/c，γ2−1=γ2β2）

总结、

电场和磁场是电磁现象在不同参考系下的具体表现形式。选择不同的参考系会有不同的电磁场形式，但对带电粒子的作用是等效的。电磁合在一起就同爱因斯坦的相对论一致了。

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