Matrix-Tree矩阵树定理——从入门到入坟

前置芝士——行列式

正题

这个定理用来解决这样一个问题：一张无向图有多少个不同的生成树。

首先需要构造这样一个矩阵：设这个矩阵为 $f$f，当 $i\neq j$i​=j 时，$f[i][j]$f[i][j] 的值为 $i$i 与 $j$j 之间的边数的相反数，当 $i=j$i=j 时，$f[i][j]$f[i][j] 的值为 $i$i 的度数。

比如有这样一张图（没错有重边也没问题的，但是自环要去掉）：

那么矩阵就长这样：
$\left| \begin{matrix} 4 & -2 & -1 & -1\\ -2 & 4 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 2\\ \end{matrix} \right|$∣∣∣∣∣∣∣∣​4−2−1−1​−24−1−1​−1−120​−1−102​∣∣∣∣∣∣∣∣​

我们随便去掉其中一个点的影响，即删掉矩阵中的某个第 $i$i 行第 $i$i 列，得到一个新的矩阵，然后这个矩阵的行列式就是生成树数量。

证明？我当然不会qwq 这种东西记个结论就好啦~

但是如果暴力求行列式，时间肯定爆炸，于是我们先将它转化为上三角矩阵，然后将主对角线上的元素乘起来就好啦！（具体见上面的有关行列式的博客）

模板题在此