VIO学习之公式推导——IMU篇

1、旋转运动学

1.1线速度与角速度的关系

1.2旋转坐标系下的运动学

上式(3)中推导过程中的注意点：
(1)其中倒数第二个等号的结果用到了VIO学习之公式推导——李代数篇中的性质5
(2)公式中$[w_{BB^{'}}\bigtriangleup t]^{\land}=[w_{BB^{'}}]^{\land}\bigtriangleup t=[w_{BB^{'}}]_{\times}\bigtriangleup t$[wBB′​△t]∧=[wBB′​]∧△t=[wBB′​]×​△t其中右上的三角符号和右下的×是同种意义的不同表示。

2、IMU测量模型及运动模型

2.1MEMS加速度计工作原理

2.1MEMS陀螺仪工作原理

3、IMU误差模型

3.1误差分类

• 加速度计和陀螺仪的误差可以分为：确定性误差，随机误差。
• 确定性误差可以事先标定确定，包括：bias，scale…
• 随机误差通常假设噪声服从高斯分布，包括：高斯白噪声，bias随机游走…

确定性误差

其中bias也称之为零点漂移，scale也称之为现象漂移。

非正交误差

3.2确定性误差分类

3.2.1六面法标定加速度

3.2.2六面法标定陀螺仪

3.2.3温度相关的参数标定

3.3 IMU随机误差

狄拉克函数实际就是信号系统里面的冲激函数




注意上式中$b(t)$b(t)的单位是角度，而陀螺仪的测量量是角速度，所以在建模过程中需要对其求一次导。
维纳过程的定义如下：

上式(13)公式有一个错误，第一个积分的上下标应该和第二个一样。

3.4 IMU随机误差的标定

具体理论知识查询资料

高斯噪声的方差值在m=-0.5处，bias噪声的方差值在m=0.5处。

实际代码参考链接

4、IMU数学模型

5、运动模型离散时间处理

上式关于四元素的求导公式如下：




上面(23)式到(24)式中$q_{wb_{k+1}}$qwbk+1​​的推导如下：
由前面已知：
$\dot{q}=q\otimes\left[\begin{matrix}0\\\frac{1}{2}w\end{matrix}\right]$q˙​=q⊗[021​w​]
$\begin{aligned} q_{k+1}&=q_{k}+\dot{q}_{k}\delta t\\ &=q_{k}+q_{k}\otimes\left[\begin{matrix}0\\\frac{1}{2}w_{k}\end{matrix}\right]\delta t\\ &=q_{k}\otimes\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]+q_{k}\otimes\left[\begin{matrix}0\\\frac{1}{2}w_{k}\delta t\end{matrix}\right]\\ &=q_{k}\otimes\left[\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}w_{k}\delta t\end{matrix}\right] \end{aligned}$qk+1​​=qk​+q˙​k​δt=qk​+qk​⊗[021​wk​​]δt=qk​⊗[10​]+qk​⊗[021​wk​δt​]=qk​⊗[121​wk​δt​]​

该法也称为中值法

6、旋转的基础知识

6.1 欧拉角