连续信号（一）| 时域描述 +时域运算

连续的确定性信号是可用时域上连续的确定性函数描述的信号，是一类在描述、分析上最简单的信号，同时又是其他信号分析的基础。

通常一个信号是时间的函数，在时间域内对其进行定量和定性的描述、分析是一种最基本的方法

一、连续信号的时域描述

用一个时间函数或一条曲线来表示信号随时间变化的特性称为连续信号的时域描述。在多种多样的连续确定性信号中，有一些信号可以用常见的基本函数表示，如正弦函数、指数函数、阶跃函数等，这类信号为基本信号，可组成复杂信号，分为普通信号和奇异信号。

（一）普通信号的时域描述

1.正弦信号

• 余弦信号也是正弦信号

• 如果一个正弦信号的频率是$f_1$f1​是另一个正弦信号频率$f_0$f0​的整数倍，即$f_1=nf_0$f1​=nf0​（n为整数），则其合成信号是频率为$f_0$f0​的非正弦周期信号，把$f_0$f0​称为该信号的基波频率，$f_1$f1​称为n次谐波频率。据此，可以把一个周期信号分解为基波信号和一系列谐波信号。

2.指数信号

表示为
$x(t)=Ae^{st} \quad -\infty<t<\infty$x(t)=Aest−∞<t<∞
式中，$s=\sigma+j\omega$s=σ+jω为复数。

如果$\sigma=0,\omega=0$σ=0,ω=0，则$x(t)=A$x(t)=A即为直流信号。

如果$\sigma \neq 0, \omega=0$σ​=0,ω=0，则$x(t)=Ae^{\sigma t}$x(t)=Aeσt，即为实指数信号，其中信号的衰减或增长速度可以用实指数信号的时间常数$\tau$τ表示，它是$|\sigma|$∣σ∣的倒数，即$\tau=\frac{1}{|\sigma|}$τ=∣σ∣1​

如果$\sigma \neq 0,\omega \neq 0$σ​=0,ω​=0，则$x(t)=Ae^{\sigma t}e^{j\omega t}$x(t)=Aeσtejωt，即为复指数信号，$s=\sigma+j\omega$s=σ+jω称为复指数信号的复频率。

按欧拉（Euler）公式，复指数信号可以写成
$x(t)=Ae^{st}=Ae^{\sigma t}e^{j\omega t}=Ae^{\sigma t}cos\omega t+jAe^{at}sin\omega t=Re[x(t)]+jIm[x(t)]$x(t)=Aest=Aeσtejωt=Aeσtcosωt+jAeatsinωt=Re[x(t)]+jIm[x(t)]
$x(t)$x(t)可以分解为实部和虚部两个部分
$Re[x(t)]=Ae^{\sigma t}coswt \\ Im[x(t)]=Ae^{\sigma t}sinwt$Re[x(t)]=AeσtcoswtIm[x(t)]=Aeσtsinwt
分别为余弦和正弦信号，$Ae^{\sigma t}$Aeσt反映了它们振荡幅度的变化情况，即它们的包络线。下图表示了$\sigma<0$σ<0时的$Re[x(t)]$Re[x(t)]和$Im[x(t)]$Im[x(t)]，其中虚线为包络线$Ae^{\sigma t}$Aeσt。

实际的信号总是实的，即都是时间t的实函数，复指数信号为复函数，所以不可能实际产生。但是一方面，它的实部和虚部表示了指数包络的正弦型振荡，具有一定的实际意义。其次，它把直流信号、指数信号、正弦型信号以及具有包络线的正弦型信号表示为统一的形式，在信号分析理论中更具有普遍意义。

欧拉公式：
$e^{jwt}=coswt+jsinwt \\ Acos(wt+\varphi)=\frac{A}{2}[e^{j(wt+\varphi)}+e^{-j(wt+\varphi)}]=ARe[e^{j(wt+\varphi)}] \\ Asin(wt+\varphi)=\frac{A}{2j}[e^{j(wt+\varphi)}-e^{-j(wt+\varphi)}]=AIm[e^{j(wt+\varphi)}]$ejwt=coswt+jsinwtAcos(wt+φ)=2A​[ej(wt+φ)+e−j(wt+φ)]=ARe[ej(wt+φ)]Asin(wt+φ)=2jA​[ej(wt+φ)−e−j(wt+φ)]=AIm[ej(wt+φ)]
（二）奇异信号的描述

奇异信号是用奇异函数表示的一类特殊的连续时间信号，其函数本身或者函数的导数（包括高阶导数）具有不连续点。它们是从实际信号中抽象出来的典型信号，在信号的分析中占有重要地位。

1. 单位斜坡信号
2. 单位阶跃信号

阶跃信号具有单边特性，即信号在接入时刻$t_0$t0​以前的值为0，因此，可以用来描述信号的接入特性，如$x(t)=sinwt·u(t)$x(t)=sinwt⋅u(t)

通过阶跃信号，可以表示出矩形脉冲信号。
$x(t)=A[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})]$x(t)=A[u(t+2τ​)−u(t−2τ​)]

3. 单位冲击信号

狄拉克把单位冲激信号定义为
$\begin{cases} \delta(t)=0, \quad t\neq 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1 \end{cases} \tag{1}${δ(t)=0,t​=0∫−∞∞​δ(t)dt=1​(1)
即非零时刻的函数值均为零，而它与时间轴覆盖的面积为1。为了方便理解，可以把单位冲激信号视为幅度为$\frac{1}{\tau}$τ1​、宽度为$\tau$τ的矩形脉冲当$\tau$τ趋于零时的极限情况，即
$\delta(t)=lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau}[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})]$δ(t)=limτ→0​τ1​[u(t+2τ​)−u(t−2τ​)]
下图表示了$\tau \to 0$τ→0时上述矩形脉冲的变化过程。

由上可知，当$t=0$t=0时，$\delta(t)$δ(t)的幅值应为$\infty$∞，无明确的物理意义。但是由式（1），$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=\int_{0^-}^{0^+}\delta(t)dt=1$∫−∞∞​δ(t)dt=∫0−0+​δ(t)dt=1，故称$\delta(t)$δ(t)的强度为1，用带箭头的直线段表示，并在箭头旁边标以强度1.如下图所示。如果一个冲激信号与时间轴覆盖的面积为A，表示其强度是单位冲激信号的A倍，用在带箭头的直线段旁边标以A来表示。

冲激信号的性质：

1）若$x(t)$x(t)在$t=0$t=0处连续，则有
$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)dt=x(0) \tag{2}$∫−∞∞​x(t)δ(t)dt=x(0)(2)
这是因为$\delta(t)$δ(t)在$t\neq 0$t​=0处为零，故有
$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)dt=\int_{0^-}^{0^+}x(t)\delta(t)dt=x(0)\int_{0^-}^{0^+}\delta(t)dt=x(0)$∫−∞∞​x(t)δ(t)dt=∫0−0+​x(t)δ(t)dt=x(0)∫0−0+​δ(t)dt=x(0)
一个任意信号$x(t)$x(t)经与$\delta(t)$δ(t)相乘后再取积分，就是该信号在$t=0$t=0处的取值，表明$\delta(t)$δ(t)具有取样（筛选）特性。

2）冲激信号具有偶函数特性，这是因为如令$\tau=-t$τ=−t，则有
$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(-t)dt=\int^\infty_{-\infty}x(-\tau)\delta(\tau)d(-\tau)=\int_{\infty}^{-\infty}x(-\tau)\delta(\tau)d\tau=x(0)$∫−∞∞​x(t)δ(−t)dt=∫−∞∞​x(−τ)δ(τ)d(−τ)=∫∞−∞​x(−τ)δ(τ)dτ=x(0)
再结合式（2），有
$\delta(-t)=\delta(t)$δ(−t)=δ(t)
3）冲激信号与阶跃信号互为积分和微分关系，即
$\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau=u(t) \quad (3)\\ \frac{du(t)}{dt}=\delta(t) \quad (4)$∫−∞t​δ(τ)dτ=u(t)(3)dtdu(t)​=δ(t)(4)
这是因为由冲激信号的定义式（1）有
$\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau= \begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)d\tau=1 \quad t>0 \\ 0 \quad t<0 \end{cases}$∫−∞t​δ(τ)dτ={∫−∞∞​δ(τ)dτ=1t>00t<0​
结合$u(t)$u(t)的定义式，即可得式（3）、（4）。

二、连续信号的时域运算

尺度变换、平移、翻转、叠加、相乘、微分、积分等

1. 尺度变换

   幅度变换不改变信号的基本特性，如果$x(t)$x(t)表示某一语音信号，则$x_1(t)$x1​(t)和$x_2(t)$x2​(t)仅仅使声音的大小发生了变化，语音特征并没有变化。时间尺寸会改变信号的基本特征，信号的频谱发生了变化。声音音调的变化是由于信号的频率特性发生变化。信号的频率特性与幅度不同，它是信号的基本特征。

2. 微分和积分

   单位冲激信号的微分
   $\delta'(t)=\frac{d}{dt}\delta(t)$δ′(t)=dtd​δ(t)
   可视为幅度为$\frac{1}{\tau}$τ1​，脉宽为$\tau$τ的矩形脉冲求导后$\tau$τ趋于零的极限。显然，它是位于$t=0$t=0处强度分别为$+\infty$+∞和$-\infty$−∞的一对冲激函数，故称为单位冲激偶，如下图所示。

单位冲激偶函数是奇函数，即
$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(t)=0$∫−∞+∞​δ′(t)=0
这可由$\delta'(t)$δ′(t)的定义直接得到。此外单位冲激偶函数也有筛选特性
$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta'(t-t_0)dt=-x'(t_0)$∫−∞+∞​x(t)δ′(t−t0​)dt=−x′(t0​)

3. 卷积运算

   对于两个连续时间信号，卷积运算为
   $x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}x_2(\tau)x_1(t-\tau)d\tau$x1​(t)∗x2​(t)=∫−∞∞​x1​(τ)x2​(t−τ)dτ=∫−∞∞​x2​(τ)x1​(t−τ)dτ
   显然$x_1(t)*x_2(t)=x_2(t)*x_1(t)$x1​(t)∗x2​(t)=x2​(t)∗x1​(t)。

   任意信号与冲激信号的卷积有特殊意义。首先，任意$x(t)$x(t)与单位冲激信号$\delta(t)$δ(t)的卷积仍然是$x(t)$x(t)本身，这是因为
   $x(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(\tau-t)d\tau=x(t)$x(t)∗δ(t)=∫−∞∞​x(τ)δ(t−τ)dτ=∫−∞∞​x(τ)δ(τ−t)dτ=x(t)
   其次，有
   $x(t)*\delta(t-t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-t_0-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(\tau-(t-t_0))d\tau=x(t-t_0)$x(t)∗δ(t−t0​)=∫−∞∞​x(τ)δ(t−t0​−τ)dτ=∫−∞+∞​x(τ)δ(τ−(t−t0​))dτ=x(t−t0​)
   与$\delta(t-t_0)$δ(t−t0​)卷积，相当于原信号延迟$t_0$t0​，进一步，有
   $x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau-t_1)\delta(t-t_2-\tau)d\tau \\ =\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau-t_1)\delta(\tau-(t-t_2))d\tau \\ =\int_{-\infty}^{+\infty}x(\lambda)\delta(\tau-(t-t_1-t_2))d\lambda \\ =x(t-t_1-t_2)$x(t−t1​)∗δ(t−t2​)=∫−∞+∞​x(τ−t1​)δ(t−t2​−τ)dτ=∫−∞+∞​x(τ−t1​)δ(τ−(t−t2​))dτ=∫−∞+∞​x(λ)δ(τ−(t−t1​−t2​))dλ=x(t−t1​−t2​)