《漫画傅里叶解析》笔记（4）

《漫画傅里叶解析》笔记（4）

• 《漫画傅里叶解析》作者 涉谷道雄
• 第5章 函数的正交
• 一、 函数的正交
• 二、 两正交函数的图形证明
• 三、 两正交函数的数学计算证明
• 四、 $sin^2 x$的定积分

《漫画傅里叶解析》作者 涉谷道雄

第5章 函数的正交

一、 函数的正交

1. 正交就是成直角的意思。
   
2. sinX 函数的波形 与 cosX函数的波形相差π/2。 也就是说，这两个函数的波形的起始点的位置关系，在单位圆上成直角。
   
3. 如果函数成正交关系，那么它们积的定积分为0。反过来说，如果两个函数的积的定积分为0，这两个函数正交。

二、 两正交函数的图形证明

三、 两正交函数的数学计算证明

四、 $sin^2 x$sin2x的定积分

$\int_0^{2\pi} sin^2xdx=\int_0^{2\pi} sinxsinxdx=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1-cos2x)dx$∫02π​sin2xdx=∫02π​sinxsinxdx=21​∫02π​(1−cos2x)dx
$=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}1dx-\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}cos2xdx=\frac{1}{2}[x]^{2\pi}_0={\pi}$=21​∫02π​1dx−21​∫02π​cos2xdx=21​[x]02π​=π