微积分笔记系列（二）

函数论：

• 一、映射相关概念：
• 二、一元函数相关概念：
• 三、常见特殊函数：
• 四、无穷小：
• 五、常用等价无穷小替换：
• 六、一元函数的连续和间断：
• 七、多元函数相关概念：
• 八、多元函数的极限：
• 九、多元函数的连续和间断：

• 一、映射相关概念：

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• 二、一元函数相关概念：

=> 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
=> 初等函数：由上述基本初等函数通过有限次四则运算或复合运算得到的函数叫做初等函数（初等函数在定义域内每一点都是连续的）
=> 实函数：定义域和值域均在实数范围内的函数
=> 复变函数：定义域和值域均在复数范围内的函数

=> 渐近线：
1）铅垂渐近线：$x=a$x=a
2）水平渐近线：$y=b$y=b
3）斜渐近线：$\lim_{x\rightarrow \infty} (y-ax)=b$limx→∞​(y−ax)=b

=> 函数基本性质：（作图时往往从下面的性质中考虑）
1）有界性
2）奇偶性
3）单调性
4）周期性
5）凹凸性

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• 三、常见特殊函数：

1）狄利克雷函数：

$D(x) = \begin{cases} 1 & x 为有理数 \\ 0 & x 为无理数 \end{cases}$D(x)={10​x为有理数x为无理数​

=> 重要性质：处处不连续，处处极限不存在，黎曼不可积

2）克罗内克函数：
$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases}$δij​={10​i=ji​=j​

=> 重要应用：作为特征函数而广泛使用

3）符号函数：
$sgn(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$sgn(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​10−1​x>0x=0x<0​

=> 重要应用：积分中有时候被积函数和原函数的定义域不一致时会用之扩充定义域

4）黎曼函数：
$R(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & x = \frac{p}{q} ( \frac{p}{q}为既约真分数) \\ 0 & x=0，1和(0,1)内的无理数 \end{cases}$R(x)={q1​0​x=qp​(qp​为既约真分数)x=0，1和(0,1)内的无理数​

=> 重要性质：在[0,1]内的无理点处处连续，有理点处处不连续，且处处极限为0，黎曼可积

5）高斯函数：

函数$y=[x]$y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作$[x]$[x]或INT(x)

=> 重要应用：用于实数定义域和整数子定义域之间转化

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• 四、无穷小：

1）定义：若$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$limx→x0​​f(x)=0，则称$f(x)$f(x)为当$x\rightarrow x_0$x→x0​时的无穷小

2）基本性质：

① 有限个无穷小的和仍为无穷小；
② 有限个无穷小的积仍为无穷小；
③ 有界函数与无穷小的积为无穷小；
④ 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大；

3）无穷小的分阶：

阶	定义
高阶	若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$limαβ​=0，则称$\beta$β是比$\alpha$α较高阶的无穷小
低阶	若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$limαβ​=0，则称$\alpha$α是比$\beta$β较低阶的无穷小
k阶	若$\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=C$limαkβ​=C，则称$\beta$β是$\alpha$α的k阶无穷小
同阶	若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=C$limαβ​=C，则称$\beta$β是$\alpha$α的同阶无穷小
等价	若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$limαβ​=1，则称$\beta$β是$\alpha$α的同阶无穷小

4）等价无穷小的替换定理：

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• 五、常用等价无穷小替换：

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• 六、一元函数的连续和间断：

1）定义：若$\lim_{x->x_0} f(x) = f(x_0)$limx−>x0​​f(x)=f(x0​), 则称函数在$x_0$x0​处连续，反之则称函数在$x_0$x0​处间断，若函数对于一个区间$I$I内所有点都连续，则称函数在区间$I$I上连续；

=> 类比左/右极限，同样有左/右连续和左/右间断

2）间断点：

间断点类型	释义
第一类间断	函数在$x_0$x0​处左右极限皆存在，但是至少有一个不等于$f(x_0)$f(x0​)，或f(x)在$x_0$x0​处无定义； 第一类间断可细分为可去间断点（左右极限相等）和跳跃间断点（左右极限不相等）两种
第二类间断	函数在$x_0$x0​处左右极限至少有一个不存在； 第二类间断可细分为无穷间断点（左右极限至少有一个为无穷而不存在）和振荡间断点（左右极限至少有一个振荡而不存在）两种

3）复合函数连续性定理：

若$g(x)$g(x)的值域含于$f(y)$f(y)的定义域中，且$g(x)$g(x)在$x_0$x0​处连续，而$f(y)$f(y)在$y_0=g(x_0)$y0​=g(x0​)处连续，则复合函数$f(g(x))$f(g(x))在$x_0$x0​处连续；

4）零点存在性定理：

若$f (x)$f(x)在$[a,b]$[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f (a)\cdot f (b)＜0$f(a)⋅f(b)＜0，则f (x)在[a，b]内至少存在一个零点，即存在$c\in (a,b)$c∈(a,b)，使得$f (c) = 0$f(c)=0；

5）介值定理：

若$f(x)$f(x)在区间$I$I上定义且连续，若对于定义域内两点a,b，有$f(a)=A≠f(b)=B$f(a)=A​=f(b)=B，则对于A,B之间的任意数C，必定存在a,b之间的某点c使得$f(c) = C$f(c)=C;

6）反函数存在性定理：

若函数$y=f(x),x\in D$y=f(x),x∈D是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数 $x=f^{−1}(y):R_f→D$x=f−1(y):Rf​→D，且$f^{−1}(y)$f−1(y)也是严格单调增加（减少）的；

7）反函数连续性定理：

设函数$y=f(x)$y=f(x)在闭区间$[a,b]$[a,b]上连续且严格单调增加（减少），设$f(a)=α,f(b)=β$f(a)=α,f(b)=β，则它的反函数$x=f^{−1}(y)$x=f−1(y)在$[α,β]$[α,β]（$[β,α]$[β,α]）上连续且严格单调增加（减少）；

8）魏尔斯特拉斯第一定理 / 有界性定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]内定义且连续，则它必定有界；

9）魏尔斯特拉斯第二定理 / 最值定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]内定义且连续，则它在这个区间内必定能达到它的上下确界，即最大值和最小值；

10）一致连续性：

某一函数$f(x)$f(x)在区间$I$I上有定义，如果对于任意的$\varepsilon>0$ε>0，总有$\delta>0$δ>0 ，使得在区间$I$I上的任意两点$x_1$x1​和$x_2$x2​，当满足$|x_1-x_2|<\delta$∣x1​−x2​∣<δ时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$∣f(x1​)−f(x2​)∣<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续 ；

=> 康托定理：对于在闭区间上定义的连续函数，其必定一致连续

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• 七、多元函数相关概念：

  1）点和区域：
  
  

  2）多元函数：
  
  => 基本性质： 大部分可通过一元函数的性质进行类比推广，不再赘述。。。

  3）隐函数：
  如果方程$F(x,y)=0$F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

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• 八、多元函数的极限：

  1）二重极限：
  
  
  => n重极限可类比定义

  2）累次极限：
  
  
  => 累次极限和重极限的存在性之间没有必然关系
  => 累次极限不能随意交换次序
  => 累次极限存在定理：
  若二重极限$A = \lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y)$A=lim(x,y)→(x0​,y0​)​f(x,y)存在，且对于任一个$y^*$y∗，有依x的单重极限$g(y^*) = \lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y^*)$g(y∗)=limx→x0​​f(x,y∗)存在，则累次极限$\lim_{y\rightarrow y_0}g(y) = \lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)$limy→y0​​g(y)=limy→y0​​limx→x0​​f(x,y)必存在 ，且等于二重极限$\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y)$lim(x,y)→(x0​,y0​)​f(x,y);

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• 九、多元函数的连续和间断：

  1）定义：
  
  2）基本定理：

  零点定理 / 介值定理 / 有界性定理 / 最值定理 等均可由一元函数类比推广，不再赘述。。。

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