如图，在边长为 2 2 2的等边三角形 A B C ABC ABC中， D D D为边 B C BC BC上一点，且 B D = 1 2 C D BD=\frac{1}{2}CD BD=21CD
点 E E E、 F F F分别在边 A B AB AB、 A C AC AC上且 ∠ E D F = 9 0 ∘ \angle EDF=90^{\circ} ∠EDF=90∘， M M M为边 E F EF EF的中点，连接 C M CM CM交 D F DF DF于点 N N N
若 D F / / A B DF\ /\kern -0.8em /\ AB DF // AB，求 C M CM CM的长
首先，先把题目中得到的有用信息整理一下
A B = B C = A C = 2 AB=BC=AC=2 AB=BC=AC=2， ∠ A = ∠ B = ∠ A C B = 6 0 ∘ \angle A=\angle B=\angle ACB=60^{\circ} ∠A=∠B=∠ACB=60∘， B D = 2 3 BD=\frac{2}{3} BD=32， C D = 4 3 CD=\frac{4}{3} CD=34， D F / / A B DF\ /\kern -0.8em /\ AB DF // AB， E M = M F EM=MF EM=MF
根据 D F / / A B DF\ /\kern -0.8em /\ AB DF // AB，可以进一步得出 ∠ C F D = ∠ C D F = 6 0 ∘ \angle CFD=\angle CDF=60^{\circ} ∠CFD=∠CDF=60∘
又因为 ∠ A C B = 6 0 ∘ \angle ACB=60^{\circ} ∠ACB=60∘，可以得出三角形 F D C FDC FDC也是等边三角形
再整理一下条件
C D = D F = C F = 4 3 CD=DF=CF=\frac{4}{3} CD=DF=CF=34， ∠ D C F = ∠ C F D = ∠ C D F = 6 0 ∘ \angle DCF=\angle CFD=\angle CDF=60^{\circ} ∠DCF=∠CFD=∠CDF=60∘
这时可以发现， ∠ A C B = 18 0 ∘ − ∠ F D C − ∠ E D F = 3 0 ∘ \angle ACB=180^{\circ} - \angle FDC - \angle EDF = 30^{\circ} ∠ACB=180∘−∠FDC−∠EDF=30∘
因为 ∠ B = 6 0 ∘ \angle B=60^{\circ} ∠B=60∘，所以 ∠ B E D = 9 0 ∘ \angle BED=90^{\circ} ∠BED=90∘
在一个含有一个 3 0 ∘ 30^{\circ} 30∘的 R t △ Rt\triangle Rt△当中， 3 0 ∘ 30^{\circ} 30∘所对的直角边是斜边的一半
所以我们可以得到 B E = 1 2 B D = 1 3 BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3} BE=21BD=31
在 R t △ Rt\triangle Rt△ B E D BED BED中，根据勾股定理可得 D E = 3 3 DE=\frac{\sqrt{3}}{3} DE=33
在 R t △ Rt\triangle Rt△ E D F EDF EDF中， D E = 3 3 DE=\frac{\sqrt{3}}{3} DE=33 ， D F = 4 3 DF=\frac{4}{3} DF=34，所以 E F = 19 3 EF=\frac{\sqrt{19}}{3} EF=319
连接 M D MD MD，因为斜边中线等于斜边的一半
所以 E M = M F = M D = 1 2 E F = 19 6 EM=MF=MD=\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{19}}{6} EM=MF=MD=21EF=619
因为 M D = M F MD=MF MD=MF， D C = F C DC=FC DC=FC，所以 M C MC MC是 D F DF DF的垂直平分线
所以 ∠ M O D = ∠ C O D = 9 0 ∘ \angle MOD=\angle COD=90^{\circ} ∠MOD=∠COD=90∘， D O = O F = 1 2 D F = 2 3 DO=OF=\frac{1}{2}DF=\frac{2}{3} DO=OF=21DF=32
在 R t △ Rt\triangle Rt△ M O D MOD MOD中， M D = 19 6 MD=\frac{\sqrt{19}}{6} MD=619 ， D O = 2 3 DO=\frac{2}{3} DO=32，所以 M O = 3 6 MO=\frac{\sqrt{3}}{6} MO=63
在 R t △ Rt\triangle Rt△ C O D COD COD中， D O = 2 3 DO=\frac{2}{3} DO=32， C D = 4 3 CD=\frac{4}{3} CD=34，所以 O C = 2 3 3 OC=\frac{2\sqrt{3}}{3} OC=323
所以 M C = M O + O C = 3 6 + 2 3 3 = 5 6 3 MC=MO+OC=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{6}\sqrt{3} MC=MO+OC=63 +323 =653