笔记
本节给出了一个关于矩阵链相乘问题的动态规划算法。给定一个n个矩阵的矩阵链<A1, A2, … , An>，要计算它们的乘积A1•A2•…•An。矩阵乘法满足结合律，所以通过加括号，一个矩阵链的乘法可以按照不同的顺序进行。例如，4个矩阵的矩阵链<A1, A2, A3, A4>，共有5种加括号的方式：
( A1•( A2•( A3•A4 ) ) )
( A1•( ( A2•A3 )•A4 ) )
( ( A1•A2 )•( A3•A4 ) )
( ( A1•( A2•A3 ) )•A4 )
( ( ( A1•A2 )•A3 )•A4 )
加括号的方式对矩阵链乘法的时间代价产生巨大的影响。我们先来分析两个矩阵相乘的时间代价。下面的代码给出了两个矩阵相乘的标准算法。
两个矩阵A和B只有相容，即A的列数等于B的行数时，才能相乘。如果A是p×q矩阵，B是q×r矩阵，那么乘积C是p×r矩阵。分析上面的代码，矩阵乘法的时间代价主要由最内层循环的标量乘法的次数决定，一共需要做pqr次标量乘法。
现在考虑计算矩阵链乘法的时间代价。以3个矩阵<A1, A2, A3>为例， 它们的维数分别为10×100、100×5和5×50，有以下两种加括号的方式：
(1) 按((A1•A2)•A3)的顺序计算
先计算(A1•A2)，需要做10×100×5 = 5000次标量乘法，得到的结果矩阵的维度为10×5；再与A3相乘，需要做10×5×50 = 2500次标量乘法。总共需要做5000+2500 = 7500次标量乘法。
(2) 按(A1•(A2•A3))的顺序计算
先计算(A2•A3)，需要做100×5×50 = 25000次标量乘法，得到的结果矩阵的维度为100×50； A1再与(A2•A3)的结果相乘，需要做10×100×50 = 50000次标量乘法。总共需要做25000+50000 = 75000次标量乘法。
可以看到，第(2)种计算顺序的时间代价是第(1)种顺序的10倍。
矩阵链乘法问题：给定一个n个矩阵的矩阵链<A1, A2, … , An>，矩阵Ai的维度为pi-1×pi(1 ≤ i ≤ n)，求一个最优的加括号方案，使得计算矩阵乘积A1•A2•…•An所需要的标量乘法次数最少。
矩阵A1的维度为p0×p1，A2的维度为p1×p2，... ...。以此类推，矩阵An的维度为pn-1×pn。矩阵的维度可以构成一个n+1元的数组{p0, p1, … , pn}。以这个数组作为算法输入。
令P(n)表示n个矩阵的矩阵链的所有加括号的方案的数量。当n =1时，由于只有一个矩阵，所以P(1) = 1。当n ≥ 2时，可以先将矩阵链划分为两个子链<A1, … , Ak>和<Ak+1, … , An>，其中k = 1,2,…, n-1，对两个子链加括号又是规模更小的子问题，因此矩阵链乘法问题满足最优子结构。由此，我们可以得到
可以证明，P(n) = Ω(2n)。显然，遍历所有加括号的方案，并不是一个明智的选择，这样的算法至少有一个指数增长的时间复杂度。现在我们用动态规划方法来求解这个问题。
用m[i, j]示计算矩阵链<Ai, Ai+1, … , Aj>所需标量乘法次数的最小值。如果i = j，矩阵链中只有一个矩阵，显然m[i, j] = 0。对于i < j的情况，上文提到，可以先将矩阵链<Ai, Ai+1, … , Aj>划分为两个子链<Ai, … , Ak>和<Ak+1, … , Aj>。左子链<Ai, … , Ak>的乘积是一个pi-1×pk矩阵，右子链<Ak+1, … , Aj>的乘积是一个pk×pj矩阵。假设两个子链的最优解已知，它们分别为m[i, k]和m[k+1, j]，并且可以知道两个子链的结果相乘需要pi-1pkpj次标量乘法。于是，可以得到m[i, j] = m[i, k] + m[k+1, j] + pi-1pkpj。
矩阵链的划分点k可以取值i, i+1,…, j-1，我们需要检查k的所有可能的取值情况，并从中找到最优解。于是有
我们已经确立了问题的最优子结构，现在要合理安排子问题的求解顺序。子问题的规模是用相应的子链中矩阵的个数来度量的。我们要计算m[i, j]，只依赖于更短的子链的求解结果。因此，我们可以按照长度递增的顺序求解矩阵链乘法问题。另外，还需要在求解过程中记录下每个子问题的最优解的分割点位置k。以下是代码。
算法MATRIX-CHAIN-ORDER包含一个三层的嵌套循环，运行时间为O(n3)。另外，该算法还需要Θ(n2)的空间来保存数组m和s。
练习
15.2-1 对矩阵规模序列<5,10, 3, 12, 5, 50, 6>，求矩阵链最优加括号方案。
解
最优加括号方案为( (A1A2) ( (A3A4) (A5A6) ) )，所需要的标量乘法的次数为2010。
15.2-2 设计递归算法MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A, s,i, j)，实现矩阵链最优代价乘法计算的真正计算过程，其输入参数为矩阵序列<A1, A2,…, An>，MATRIX-CHAIN-ORDER得到的表s，以及下标 i 和 j 。(初始调用应为MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A, s, 1, n) )。
解
假设已经有两个矩阵相乘的代码MATRIX-MULTIPLY(A, B)。
15.2-3 用代入法证明递归公式(15.6)的结果为Ω(2n)。
解
我们要证明的是P(n) = Ω(2n)，这个式子给出了P(n)的渐近下界，它的严格的数学含义是：存在正常量c和n0，使得对所有n ≥ n0，有P(n) ≥ c·2n ≥ 0。
用数学归纳法来证明这个命题。我们取n0 = 1。现在要选取合适的c，使得命题能够成立。
初始条件要取n = 1、2、3、4。下面对这4个初始条件逐个分析。
当n = 1时，这时有P(1) = 1，只要取0 < c ≤ 1/2，就能满足P(1) ≥ c·21 ≥ 0。
当n = 2时，这时有P(2) = P(1)·P(1)= 1，只要取0 < c ≤ 1/4，就能满足P(2) ≥ c·22 ≥ 0。
当n = 3时，这时有P(3) = P(1)·P(2)+ P(2)·P(1) = 2，只要取0 < c ≤ 1/4，就能满足P(3) ≥ c·23 ≥ 0。
当n =4时，这时有P(4)= P(1)·P(3) + P(2)·P(2) + P(3)·P(1) = 5，只要取0 < c ≤ 5/16，就能满足P(4) ≥ c·24 ≥ 0。
综合上述4个初始条件下c的取值范围可以得到，只要取0 < c ≤ 1/4，就能使命题对4个初始条件都成立。
现在考虑n ≥ 5的情况。假设命题对所有1 ~ n-1都成立。于是有
由于P(n) ≥ (n-1)·c2·2n，因此只要不等式(n-1)·c2·2n ≥ c·2n成立，就能使P(n) ≥ c·2n ≥ 0成立。我们求解不等式(n-1)·c2·2n≥ c·2n，得到c ≥ 1/(n-1)。只要取c ≥ 1/(5-1) = 1/4，就能使c ≥ 1/(n-1)对所有n ≥ 5都成立。于是有
上式表明，在归纳阶段，取c ≥ 1/4可以使得命题成立。
综上所述，初始条件下要取0 < c ≤ 1/4才能让命题成立，而归纳阶段要取c ≥ 1/4才能让命题成立。因此，我们可以取c = 1/4，这时命题对所有情况都成立。15.2-4 对输入链长度为n的矩阵链乘法问题，描述其子问题图：它包含多少个顶点？包含多少条边？这些边分别连接哪些顶点？
略
15.2-5 令R(i, j)表示在一次调用MATRIX-CHAIN-ORDER过程中，计算其他表项时访问表项m[i,j]的次数。证明：
解
考虑计算长度为l的矩阵子链<Ai, Ai+1,…, Ai+l-1>乘积。如果l = 1，计算m[i, i]不需要访问其他表项。因此l = 1的情况可以不用考虑。
现在我们考虑l > 1的情况。我们要从位置k处拆分一个长度为l的矩阵子链，其中k = i, i+1,… , i+l-2。每一次拆分需要访问两个表项m[i, k]和m[k+1, i+l-1]各一次。而k的可能取值有l-1个，因此处理一个长度为 l 的矩阵子链需要访问其他表项的次数为2(l-1)。在一个总长为n的矩阵链中，长度为l的子链一共有n-l+1个。因此处理所有长度为 l 的矩阵子链需要访问其他表项的次数为2(n-l+1)(l-1)次表项。将l = 2, 3, …, n的所有情况综合起来，可以得到
15.2-6 证明：对n个元素的表达式进行完全括号化，恰好需要n-1对括号。
解
用数学归纳法来证明这个命题。初始条件为n = 1，不需要括号，因此n = 1时命题成立。
现在考虑n > 1的情况。假设命题对所有1 ~ n-1个元素的表达式都成立。对于n个元素的表达式，可以在一个任意的位置k处将它拆分，k = 1, 2, …, n-1。拆分后，左半边子表达式有k个元素，对它进行完全括号化恰好需要k-1对括号；右半边子表达式有n-k个元素，对它进行完全括号化恰好需要n-k-1对括号。还需要一对括号将两个子表达式括起来，如下所示，才能实现对n个元素的表达式的完全括号化。
（完全括号化的左半边子表达式 完全括号化的右半边子表达式）
因此，对一个n个元素的表达式进行完全括号化，需要(k-1) + (n-k-1)+ 1 = n-1对括号。命题得证。
相关代码可以从github下载。