算法导论——Rabin-Karp算法求模证明（1）

算法导论——Rabin-Karp算法求模证明（1）

• 公式
• 欲证
• 证明
• 结论

研究了好久Rabin-Karp算法的求模过程，现在终于明白，我们应该以逆向思维去思考这个过程，否则就会陷入泥潭

公式

$1.(a+b)\ mod\ p = [(a\ mod \ p)+(b\ mod \ p)] \ mod \ p$1.(a+b) mod p=[(a mod p)+(b mod p)] mod p
$2.(a*b)\ mod\ p = [(a\ mod \ p)*(b\ mod \ p)] \ mod \ p$2.(a∗b) mod p=[(a mod p)∗(b mod p)] mod p

欲证

$a=a_na_{n-1}...a_0$a=an​an−1​...a0​可写成
$a=a_0+base*(a_1+base*(a_2...+base*(a_{n-1}+base*a_n)))$a=a0​+base∗(a1​+base∗(a2​...+base∗(an−1​+base∗an​)))
其中$base$base为基准值：$1,2,3...$1,2,3...
我们要证明命题：
$a\ mod\ q=((...(((base*a_n) \ mod \ q)+a_{n-1}) \ mod\ q...) \ mod \ q+a_0) \ mod \ q$a mod q=((...(((base∗an​) mod q)+an−1​) mod q...) mod q+a0​) mod q
$对于任意q>a_i,\{a_i|i=0,1,2...n\}成立$对于任意q>ai​,{ai​∣i=0,1,2...n}成立

证明

我们可以根据公式部分，不断消去$mod$mod符号，从而证明命题。消去过程采用从里向外的策略进行，也就是文章一开始说的逆向思维。
加入下述等式成立

$a\ mod\ q=((...(((base*a_n) \ mod \ q)+a_{n-1}) \ mod\ q...) \ mod \ q+a_0) \ mod \ q$a mod q=((...(((base∗an​) mod q)+an−1​) mod q...) mod q+a0​) mod q
由于
$q>a_i,故a_i \ mod \ q = a_i$q>ai​,故ai​ mod q=ai​
如此，修改上述等式
$a\ mod\ q=((...(((base*a_n)$a mod q=((...(((base∗an​)$mod\ q$mod q$)+a_{n-1}$)+an−1​$mod\ q$mod q$)\ mod\ q...) \ mod \ q+a_0) \ mod \ q$) mod q...) mod q+a0​) mod q
根据
公式1，消去红色和蓝色的$'mod \ q'$′mod q′，如此往复直到我们消去最后一对红蓝$'mod \ q'$′mod q′:
$a\ mod\ q=((...(((base*a_n))+a_{n-1}) ...)$a mod q=((...(((base∗an​))+an−1​)...)$mod\ q$mod q$+a_0$+a0​$mod\ q$mod q$) \ mod \ q$) mod q
并消去所有多余括号得：
$a\ mod\ q=(base*(a_1+base*(a_2...+base*(a_{n-1}+base*a_n)))+a_0) \ mod \ q$a mod q=(base∗(a1​+base∗(a2​...+base∗(an−1​+base∗an​)))+a0​) mod q
由于我们有
$a=a_0+base*(a_1+base*(a_2...+base*(a_{n-1}+base*a_n)))$a=a0​+base∗(a1​+base∗(a2​...+base∗(an−1​+base∗an​)))
所以，等式成立。验证完毕。

结论

有了这个公式，我们便能够知道$Rabin-Karp算法$Rabin−Karp算法是如何快速计算模的了。