790. Domino and Tromino Tiling

We have two types of tiles: a 2x1 domino shape, and an "L" tromino shape. These shapes may be rotated.

XX  <- domino

XX  <- "L" tromino
X

Given N, how many ways are there to tile a 2 x N board? Return your answer modulo 10^9 + 7.

(In a tiling, every square must be covered by a tile. Two tilings are different if and only if there are two 4-directionally adjacent cells on the board such that exactly one of the tilings has both squares occupied by a tile.)

Example:
Input: 3
Output: 5
Explanation: 
The five different ways are listed below, different letters indicates different tiles:
XYZ XXZ XYY XXY XYY
XYZ YYZ XZZ XYY XXY

Note:

• N  will be in range [1, 1000].

这个题目看着真像俄罗斯方块啊，哈哈哈。

这个题目很自然地让我想到了DP，所以先找状态转移方程。

首先思考 N = 0 时，有几个呢？ 这个地方其实是有歧义的，我试探了一下测试集，发现是1，就当它是1吧，其实如果不是对后面的影响也不大。

当N =1时，显然只有一种情况； 当N = 2时，有两种情况：

xx                                 xy

yy                                 xy

当N=3时，有如下几种情况：

有5种，最左边可以理解为f(3-1)， 中间可以理解为f(3-2)， 最右边可以理解为f(3-3)；似乎我们得出了转移方程了

我们再思考N=4，，我们看一下面一种情况：

这样就又得到了两种排列的可能（另一种是旋转180°得到）。

这样随着N不断增大我们总能找到像上图这样“犬牙交错”的排列方式，这样得到了通项公式：

得到

这样我们得到了转移方程，即可得到答案。

注意要求过大的数要模10^9+7！

代码：

class Solution {
public:
    int numTilings(int N) {
        if( N == 0 )
            return 1;
        else if( N == 1 )
            return 1;
        else if( N == 2 )
            return 2;
        int n = 3;
        int x0 = 1;
        int x1 = 1;
        int x2 = 2;
        while( n <= N ){
            long long temp = (long long)2*x2 + x0;
            x0 = x1;
            x1 = x2;
            x2 = temp % 1000000007LL;            
            ++n;
        }
        return x2;
    }
};