凸优化第八章几何问题 8.5中心

8.5中心

1. Chebyshev中心
2. 最大体积椭球中心
3. 不等式组的解析中心

Chebyshev中心

多面体的Chebyshev中心

设C是有线性不等式组定义，如果，则

于是Chebyshev中心可以通过求解线性规划：

最大体积椭球中心

定义C中具有最大体积椭球的中心为C的最大体积椭球中心，记为，如下图。

不等式组的解析中心

一组凸不等式和线性方程的解析中心定义为凸问题

的最优解。这里的优化变量是，并有隐含约束。问题中的目标被称为与不等式相关的对数障碍。

解析中心不是有不等式和等式所描述的集合的函数；两组不等式和等式可能定义相同的集合，但有不同的解析中心。

线性不等式组的解析中心

线性不等式组的解析中心是下面无约束极小化问题的解：

其隐含约束为

可以对线性不等式组的解析中心给予几何解释。因为解析中心对约束函数的正伸缩变换独立，可以不失一般性地假设，在这种情况下，的松弛是到超平面

是的最优解，下图虚线是多面体C的对数障碍函数的五条等值曲线，对数障碍函数的最小值点是。

内部阴影所示的椭球为其中H为对数障碍函数在处的海瑟矩阵。

定义

则有，即总是在P中，而总是覆盖P。与最大体积内接椭球相比，这是一个较弱的结果。