传输线理论知识理解与总结(一)

$\bullet$∙传输线理论基础
   与电路理论相比，传输线理论主要区别是电长度尺寸。在电路理论中，由于工作频率低，电长度远远大于电路尺寸，因此认为电路里电压电流幅度和相位不变（可以理解为，地球表面是圆的，但是对于我们来说由于地球半径太大，所以我们看到的地球表面是平的）。而传输线理论是讨论电长度与电路尺寸相当或小于电路尺寸，假设电路激励信号为正弦信号，在电路上存在信号的幅度和相位的变化，需要用分布参量理论来讨论。
   如下图，用双线来表示传输线

$R$R表示两导体单位长度串联电阻，单位为$Ω/m$Ω/m
$L$L表示两导体单位长度串联电感，单位为$H/m$H/m
$C$C表示两导体单位长度并联电容，单位为$F/m$F/m
$G$G表示两导体单位长度并联电导，单位为$S/m$S/m

   由KCL+KVL:
$-U(z)+I(z)(R_1dz+jwL_1dz)+U(z)+dU(z)=0$−U(z)+I(z)(R1​dz+jwL1​dz)+U(z)+dU(z)=0$-I(z)+[U(z)+dU(z)](G_1dz+jwC_1dz)+I(z)+dI(z)=0$−I(z)+[U(z)+dU(z)](G1​dz+jwC1​dz)+I(z)+dI(z)=0
整理得:(注意:$jwC_1是C_1电导$jwC1​是C1​电导,$对于上面第二个式子整理得\frac{dI(z)}{dz}=-[U(z)+dU(z)](G_1+jwC_1),dz趋于0,dU(z)=0$对于上面第二个式子整理得dzdI(z)​=−[U(z)+dU(z)](G1​+jwC1​),dz趋于0,dU(z)=0)
$\frac{dU(z)}{dz}=-I(z)(R_1+jwL_1)$dzdU(z)​=−I(z)(R1​+jwL1​)$\frac{dI(z)}{dz}=-U(z)(G_1+jwC_1)$dzdI(z)​=−U(z)(G1​+jwC1​)
可以进一步整理:
$\frac{dU^2(z)}{dz^2}=U(z)(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)$dz2dU2(z)​=U(z)(R1​+jwL1​)(G1​+jwC1​)
记$\gamma^2$γ2=$(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)$(R1​+jwL1​)(G1​+jwC1​),有:
$\frac{dU^2(z)}{dz^2}-\gamma^2U(z)=0$dz2dU2(z)​−γ2U(z)=0
解该齐次方程组可以得:
$U(z)=U^+e^{-\gamma z}+U^-e^{\gamma z}$U(z)=U+e−γz+U−eγz
对上式求微分并除以$-(R_1+jwL_1)$−(R1​+jwL1​)可以求出$I$I:
$I(z)=\frac{\gamma}{R_1+jwL_1}(U^+e^{-\gamma z}-U^-e^{\gamma z})$I(z)=R1​+jwL1​γ​(U+e−γz−U−eγz)若记$Z_0=\frac{R_1+jwL_1}{\gamma}$Z0​=γR1​+jwL1​​,有$I(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-\gamma z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{\gamma z}$I(z)=Z0​U+​e−γz−Z0​U−​eγz
其中$Z_0$Z0​记为该传输线的特征阻抗,$Z_0=\frac{R_1+jwL_1}{\gamma}$Z0​=γR1​+jwL1​​=$\sqrt\frac{{R_1+jwL_1}}{G_1+jwC_1}$G1​+jwC1​R1​+jwL1​​​ ;
   总结一下, 分析传输线理论我们可以定义出一个无穷小的长度$dz$dz,可以近似将该段长度的传输线运用电路理论进行分析,并且得到该段长度传输线电压以及电流的解为:
$U(z)=U^+e^{-\gamma z}+U^-e^{\gamma z}$U(z)=U+e−γz+U−eγz$I(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-\gamma z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{\gamma z}$I(z)=Z0​U+​e−γz−Z0​U−​eγz
特征阻抗为:
$Z_0=\frac{R_1+jwL_1}{\gamma}=\sqrt\frac{{R_1+jwL_1}}{G_1+jwC_1}$Z0​=γR1​+jwL1​​=G1​+jwC1​R1​+jwL1​​​
传播常数$\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)}$γ=α+jβ=(R1​+jwL1​)(G1​+jwC1​)​
也可以由:$I^+=\frac{U^+}{Z_0}$I+=Z0​U+​得出$Z_0=\frac{U^+}{I^+},$Z0​=I+U+​,同理也可以得到$Z_0=-\frac{U^-}{I^-}$Z0​=−I−U−​ .
   一段长度的传输线可以认为是很多上述电路的级联.上述的分析也可以用麦克斯韦方程组求出,无耗传输线内的场分布满足如下关系:
$\Delta\times \bar{E}=-jw\mu \bar{H}$Δ×Eˉ=−jwμHˉ$\Delta\times \bar{H}=jw\epsilon \bar{E}$Δ×Hˉ=jwϵEˉ
也可以得出:
$\frac{\partial^2\bar{E}}{\partial t^2}+w^2\mu\epsilon\bar{E}=0$∂t2∂2Eˉ​+w2μϵEˉ=0
传播常数$\gamma=j\beta=jw\sqrt{\mu\epsilon},\beta=w\sqrt{\mu\epsilon}$γ=jβ=jwμϵ​,β=wμϵ​.同时考虑对于无耗传输线来说 ,$R_1=G_1=0$R1​=G1​=0,有$\gamma=j\beta=\sqrt{(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)}=\sqrt{jwL_1jwC_1}=jw\sqrt{L_1C_1}$γ=jβ=(R1​+jwL1​)(G1​+jwC1​)​=jwL1​jwC1​​=jwL1​C1​​

$\bullet$∙端接负载的无耗传输线
   由上述可知对于一段无耗传输线,满足如下关系:
$U(z)=U^+e^{-j\beta z}+U^-e^{j\beta z}$U(z)=U+e−jβz+U−ejβz$I(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{j\beta z}$I(z)=Z0​U+​e−jβz−Z0​U−​ejβz$Z_0=\frac{R+jwL}{\gamma}=\sqrt\frac{{L}}{C}$Z0​=γR+jwL​=CL​​$\gamma=j\beta=\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}=\sqrt{jwLjwC}=jw\sqrt{LC}$γ=jβ=(R+jwL)(G+jwC)​=jwLjwC​=jwLC​上述关系式是分析传输线的基础, 对于端接负载的无耗传输线如下图:

务必注意图中$z$z坐标, $Z_L$ZL​是在$z=0$z=0.称$U_i=U^+e^{-j\beta z}$Ui​=U+e−jβz为该传输线的入射波.其时域表示为:$U_i=U^+cos(wt-\beta z)$Ui​=U+cos(wt−βz)定义波速为波传播过程中一个固定相位点的运动速度,也称相速,按此定义$wt-\beta z$wt−βz=常数.
$v_p=\frac{dz}{dt}=\frac{d(wt-常数)}{dt}\times\frac{1}{\beta}=\frac{w}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}$vp​=dtdz​=dtd(wt−常数)​×β1​=βw​=μϵ​1​可以看出,$v_p>0$vp​>0,这也是称$U=U^+e^{-j\beta z}$U=U+e−jβz为该传输线的入射波的原因.另外,定义波长$\lambda$λ为波在一个确定的时刻,两个相邻的极大值之间的距离$[wt-\beta z]-[wt-\beta (z+\lambda)]=2\pi$[wt−βz]−[wt−β(z+λ)]=2π因此,$\lambda=\frac{2\pi}{\beta}$λ=β2π​    现在讨论负载$Z_l$Zl​处的电压与电流,由$U(z)=U^+e^{-j\beta z}+U^-e^{j\beta z}$U(z)=U+e−jβz+U−ejβz$I(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{j\beta z}$I(z)=Z0​U+​e−jβz−Z0​U−​ejβz得:$U(0)=U^+_0+U^-_0$U(0)=U0+​+U0−​$I(0)=\frac{U^+_0}{Z_0}-\frac{U^-_0}{Z_0}$I(0)=Z0​U0+​​−Z0​U0−​​
从而:$Z_L=\frac{U_0}{I_0}=Z_0\frac{U^+_0+U^-_0}{U^+_0-U^-_0}$ZL​=I0​U0​​=Z0​U0+​−U0−​U0+​+U0−​​$U^+_0=\frac{Z_L+Z_0}{Z_L-Z_0}U^-_0$U0+​=ZL​−Z0​ZL​+Z0​​U0−​
若记$\Gamma =\frac{U^-_0}{U^+_0}$Γ=U0+​U0−​​,为电压反射系数,则有:$\Gamma =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$Γ=ZL​+Z0​ZL​−Z0​​也可以得到:
$Z_L =\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }Z_0$ZL​=1−Γ1+Γ​Z0​于是:$U(z)=U^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})$U(z)=U0+​(e−jβz+Γejβz)$I(z)=\frac{U^+_0}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{j\beta z})$I(z)=Z0​U0+​​(e−jβz−Γejβz)
一定要注意,此时得$\Gamma$Γ是在$z=0$z=0处的反射系数,即$\Gamma _L$ΓL​ ,$U^+_0$U0+​也是$z=0$z=0处的值.从上述表达式可以看出,线上的电压(电流)是由入射电压(电流)和在$z=0$z=0处反射电压(电流)叠加而成的.电路设计中很多问题是由反射带来的.
    考虑到传送到负载的功率可以由负载电流和电压计算得到:
$P_{av}=\frac {1}{2}Re[U I^*]=\frac{1}{2}\frac{|U^+_0|^2}{Z_0}Re [1-\Gamma ^*e^{-2j\beta z}+\Gamma ^*e^{2j\beta z}+|\Gamma ^2|]=\frac{1}{2}\frac{|U^+_0|^2}{Z_0}[1-|\Gamma ^2|]$Pav​=21​Re[UI∗]=21​Z0​∣U0+​∣2​Re[1−Γ∗e−2jβz+Γ∗e2jβz+∣Γ2∣]=21​Z0​∣U0+​∣2​[1−∣Γ2∣]
可以看出因为反射存在,并非是所有的功率都传送给了负载.为了改善电路因为反射带来的问题,常常需要进行匹配进行解决,由公式可知$Z_l=Z_0$Zl​=Z0​时$\Gamma =0$Γ=0,为了满足这一条件通常需要设计匹配电路来完成.
    当传输线存在反射时,并不是所有的功率都传送给了负载,有一部分功率反射回来,称这种损耗为回波损耗$RL,return loss$RL,returnloss,定义为:(单位为$dB$dB)$RL=-20lg|\Gamma|$RL=−20lg∣Γ∣
对$U(z)=U^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})$U(z)=U0+​(e−jβz+Γejβz)进一步分析,
$|U(z)|=|U^+_0||e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z}|=|U^+_0||e^{-j\beta z}||1+\Gamma e^{-j2\beta z}|=|U^+_0||1+\Gamma e^{-j2\beta z}|$∣U(z)∣=∣U0+​∣∣e−jβz+Γejβz∣=∣U0+​∣∣e−jβz∣∣1+Γe−j2βz∣=∣U0+​∣∣1+Γe−j2βz∣
若记$\Gamma=|\Gamma|e^{j\phi},\phi$Γ=∣Γ∣ejϕ,ϕ为反射系数的相位.则
$|U(z)|=|U^+_0||1+|\Gamma|e^{j(\phi-2\beta z)}|$∣U(z)∣=∣U0+​∣∣1+∣Γ∣ej(ϕ−2βz)∣
由上式可得,当$\phi-2\beta z=0时$ϕ−2βz=0时
$|U_{max}|=|U^+_0||1+|\Gamma||$∣Umax​∣=∣U0+​∣∣1+∣Γ∣∣当$\phi-2\beta z=\pi时$ϕ−2βz=π时
$|U_{min}|=|U^+_0||1-|\Gamma||$∣Umin​∣=∣U0+​∣∣1−∣Γ∣∣可以看出,两个相邻电压最大值之间的距离是:$[\phi -2\beta z]-[\phi-2\beta(z+l)]=2\pi$[ϕ−2βz]−[ϕ−2β(z+l)]=2π即,$2\beta l=2\pi$2βl=2π$l=\frac{\pi}{\beta}=\frac{\pi}{\frac{2\pi}{\lambda}}=\frac{\lambda}{2}$l=βπ​=λ2π​π​=2λ​同理两个相邻最大值与最小值之间的距离也可以求得$l=\frac{\lambda}{4}$l=4λ​定义电压驻波比$(VSWR )$(VSWR)为传输线上最大电压与最小电压之比,即:
$VSWR=\frac{|U_{max}|}{|U_{min}|}=\frac{|U^+_0||1+|\Gamma||}{|U^+_0||1-|\Gamma|}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$VSWR=∣Umin​∣∣Umax​∣​=∣U0+​∣∣1−∣Γ∣∣U0+​∣∣1+∣Γ∣∣​=1−∣Γ∣1+∣Γ∣​
也可以计算任意位置反射系数:
$\Gamma (z)=\frac{U^-_0e^{j\beta z}}{U^+_0e^{-j\beta z}}=\Gamma _Le^{-2j\beta z}=\Gamma(0)e^{-2j\beta z}$Γ(z)=U0+​e−jβzU0−​ejβz​=ΓL​e−2jβz=Γ(0)e−2jβz有时候需要计算输入端$z=-l$z=−l处的输入阻抗$Z_{in}$Zin​,由定义可知:$Z_{in}=\frac{U(-l)}{I(-l)}=\frac{U^+_0(e^{j\beta l}+\Gamma e^{-j\beta l})}{\frac{U^+_0}{Z_0}(e^{j\beta l}-\Gamma e^{-j\beta l})}=Z_0\frac{e^{j\beta l}+\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-j\beta l}}{e^{j\beta l}-\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-j\beta l}}$Zin​=I(−l)U(−l)​=Z0​U0+​​(ejβl−Γe−jβl)U0+​(ejβl+Γe−jβl)​=Z0​ejβl−ZL​+Z0​ZL​−Z0​​e−jβlejβl+ZL​+Z0​ZL​−Z0​​e−jβl​利用欧拉公式进一步整理,$Z_{in}=Z_0\frac{Z_Lcos\beta l+jZ_0sin\beta l}{Z_0cos\beta l+jZ_Lsin\beta l}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta l}{Z_0+jZ_Ltan\beta l}$Zin​=Z0​Z0​cosβl+jZL​sinβlZL​cosβl+jZ0​sinβl​=Z0​Z0​+jZL​tanβlZL​+jZ0​tanβl​
$\bullet$∙总结
1)对于无耗传输线
电压:$U(z)=U^+e^{-j\beta z}+U^-e^{j\beta z}$U(z)=U+e−jβz+U−ejβz

电流:$I(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{U^+}{Z_0}e^{j\beta z}$I(z)=Z0​U+​e−jβz−Z0​U+​ejβz

特性阻抗:$Z_0=\frac{R+jwL}{\gamma}=\sqrt\frac{{L}}{C}$Z0​=γR+jwL​=CL​​

传播常数:$\gamma=j\beta=jw\sqrt{LC}$γ=jβ=jwLC​

波长:$\lambda=\frac{2\pi}{\beta}$λ=β2π​
波速:$v_p=\frac{w}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}$vp​=βw​=μϵ​1​,空气中波速$v_p=\frac{w}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=c$vp​=βw​=μ0​ϵ0​​1​=c
2)端接负载的无耗传输线:

电压:$U(z)=U^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})$U(z)=U0+​(e−jβz+Γejβz)

电流:$I(z)=\frac{U^+_0}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{j\beta z})$I(z)=Z0​U0+​​(e−jβz−Γejβz)

负载反射系数:$\Gamma =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$Γ=ZL​+Z0​ZL​−Z0​​

负载阻抗:$Z_L =\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }Z_0$ZL​=1−Γ1+Γ​Z0​

传送到负载功率::$P_{av}=\frac {1}{2}Re[U\times I^*]=\frac{1}{2}\frac{|U^+_0|^2}{Z_0}[1-|\Gamma ^2|]$Pav​=21​Re[U×I∗]=21​Z0​∣U0+​∣2​[1−∣Γ2∣]

回波损耗:$RL=-20log|\Gamma|$RL=−20log∣Γ∣

传输线上最大电压:$|U_{max}|=|U^+_0||1+|\Gamma||$∣Umax​∣=∣U0+​∣∣1+∣Γ∣∣

传输线上最小电压:$|U_{min}|=|U^+_0||1-|\Gamma||$∣Umin​∣=∣U0+​∣∣1−∣Γ∣∣

电压驻波比:$VSWR=\frac{|U_{max}|}{|U_{min}|}=\frac{|U^+_0||1+|\Gamma||}{|U^+_0||1-|\Gamma|}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$VSWR=∣Umin​∣∣Umax​∣​=∣U0+​∣∣1−∣Γ∣∣U0+​∣∣1+∣Γ∣∣​=1−∣Γ∣1+∣Γ∣​

任意位置的反射系数:$\Gamma (z)=\frac{U^-_0e^{j\beta z}}{U^+_0e^{-j\beta z}}=\Gamma _le^{-2j\beta z}=\Gamma(0)e^{-2j\beta z}$Γ(z)=U0+​e−jβzU0−​ejβz​=Γl​e−2jβz=Γ(0)e−2jβz

传输线输入阻抗:$Z_{in}=Z_0\frac{Z_Lcos\beta l+jZ_0sin\beta l}{Z_0cos\beta l+jZ_Lsin\beta l}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta l}{Z_0+jZ_Ltan\beta l}$Zin​=Z0​Z0​cosβl+jZL​sinβlZL​cosβl+jZ0​sinβl​=Z0​Z0​+jZL​tanβlZL​+jZ0​tanβl​

3):二分之一波长重复性,四分之一波长变换性;

参考 《 微波工程》第三版 David M.Pozar