graph Laplacian：
拉普拉斯矩阵是个非常巧妙的东西，它是描述图的一种矩阵，在降维，分类，聚类等机器学习的领域有很广泛的应用。
拉普拉斯矩阵的性质
性质：
（1）是半正定矩阵。
（2）的最小特值为0，对应特向为全1列向量。
（3）对有个非负实特征值，.
（4）对于任意一个属于实向量，都有此公式成立：
（1）是半正定矩阵。
（2）的最小特值为0，对应特向为全1列向量。
（3）对有个非负实特征值，.
（4）对于任意一个属于实向量，都有此公式成立：
拉普拉斯的应用：
1）拉普拉斯矩阵是一种图的矩阵表示。
2）拉普拉斯映射是在保持原流形数据相似度的情况下，直接降维到低维空间。
3）谱聚类是通过最小割，刚好借助了拉普拉斯映射的思想，从而用携带切割信息的特向来表征原流形数据，再去聚类。（相比于传统聚类，谱聚类更侧重于数据相似度信息的保留，更具有针对性，计算效率也更高）
2）拉普拉斯映射是在保持原流形数据相似度的情况下，直接降维到低维空间。
3）谱聚类是通过最小割，刚好借助了拉普拉斯映射的思想，从而用携带切割信息的特向来表征原流形数据，再去聚类。（相比于传统聚类，谱聚类更侧重于数据相似度信息的保留，更具有针对性，计算效率也更高）
Nonparametric Kernel Matrices 用graph Laplacian来构建，这样label 和unlabel的用来建模，提高了模型的泛化能力。
construct the graph Laplacian L：
D是对角元素
Mercer’s condition 是核函数必须满足的条件。
则目标函数为
v是特征向量，后面求和公式则是损失。
根据变形将前面公式可以变为：
则目标函数可写为：
由于：
则最终的原问题为：
最后则是优化问题，通过转化为对偶问题用kkt条件进行解：
最后用smo算法解决：
参考文献为： 点击打开链接