朴素贝叶斯理论
判断一封邮件是否是垃圾邮件。
首先在单词字典中（Vocabulary dictionary）列出所有的单词列表。假设字典中有100000个单词。然后设一个向量X，当一封邮件中的单词出现在字典中时，对应字典中的位置Xi为1，若字典中没有该单词则为0。如下图所示：当邮件中存在buy和a这两个单词时，
假设邮件中出现的每一个单词时相互独立的，就是说邮件是由随机生成的单词组成，（这就是朴素的原因）这我们去表现一封邮件的概率为：
我们用表示如果是垃圾邮件则单词xj出现的概率。表示如果不是垃圾邮件则单词xj出现的概率。对一个数据集{xi,yi}其联合概率密度为：
对其进行最大似然估计可得：
确定好参数后，则对于新的数据可以根据贝叶斯定理来判断：
拉普拉斯平滑
由上可知针对新的数据可以使用贝叶斯定律判断，但是当一封新的邮件中出现在训练集中没有出现过的单词，假设该单词是字典中第35000个那么：
利用贝叶斯计算则：
因为没有见过则将概率判断为0，这在统计学中是错误的，所以我们在参数估计值的分子上加1，分母上加k,k是字典中的单词数。得到如下：
这样我们就能避免面对新单词时得到概率为0的情况了。
多相式事件模型
在上面的朴素贝叶斯理论中，实际上是采用的多元伯努利分布，在这个模型中，我们假设电子邮件的生成方式是首先随机确定（根据后验概率p（y）确定），然后电子邮件的发送者通过首先从单词的多项式分布p（x1 | y）生成x1来编写电子邮件。然后在生成x2,这样每件邮件的长度xn可能不同。因此文件的总概率为：
这样我们对训练集{(xi,yi),i=1,2,m},其中xi的长度为ni,其似然函数为：
其最大似然估计为：
加入拉普拉斯平滑为：