叉乘分配律的几何证明

叉乘常被用于计算机图形学求平面法向量计算。
叉乘的物理意义可以理解成力矩。力是可以合成与分解的，所以叉乘当然支持分配律。
下面使用几何的方式证明：

(a ⃗ + b ⃗) \times c ⃗ = a ⃗ \times c ⃗ + b ⃗ \times c ⃗

叉乘分配律的几何证明

(a ⃗ + b ⃗) \times c ⃗ = (O A \to + O B \to) \times O C \to = O F \to \times O C \to = S O F E C \cdot n 1 \to

a ⃗ \times c ⃗ = O A \to \times O C \to = S O A D C \cdot n 2 \to

b ⃗ \times c ⃗ = O B \to \times O C \to = S A F E D \cdot n 3 \to

n1→,n2→,n3→分别是平行四边形OFEC,OADC,AFED的单位法向量

平面OFEC,OADC,AFED恰好围成一个三棱柱, 将其以OFEC为底平放，投影到三条平行棱的垂直平面后，得投影平面图：
投影的各边分别为各平行四边行的宽，即水平方向的高，

只要证明这三边等长垂直向量满足向量和，就能保证与面积为长度的垂直向量满足向量和。
作A’F’,AA”分别垂直并等长于A’F,A’O, 将A’F’平移到A”P

叉乘分配律的几何证明

下面证明
A’P垂直等长于OF

根据互补角关系，容易得：

∠ P A'' A' = ∠ O A' F

所以这两个三角形全等：

△ P A'' A' ≅ △ O A' F

所以：A’P=OF

三角形平面旋转容易证明A’P, OF垂直。

注意：
三棱柱侧面三个平行四边形面积大小是与棱边距离成比例的，而不以底边成比例，想象一下棱边沿其方面移动(上下平面错切)，各四边形面积是不变的，但底边大小可要变化，所以底边与面积不成比例。
然而面积可以以底边乘于高计算，于是垂直方向的高不能相等，否则底边就与面积等比例了。