线性方程组的结构
如何处理一些没有解或是有无数解的线性方程组？
举例 三元一次方程组
高斯-约旦消元法 ==>
在将第三行与第二行相加消元后 ==>
第三行全为0，无法找到一组xyz来满足这个线性方程组，此时这个线性方程组是无解的！
举例2 三元一次方程组
高斯-约旦消元法 ==>
在将第三行与第二行相加消元后 ==>
在此时，第三行的方程组全为0，这个方程是成立的，存在xyz满足相乘后为0，即xyz任意取值都能成立。
在这种情况下，高斯消元的过程已经结束了。
所以反向执行约旦消元法。
从最后一个主元开始进行操作，而此时的最后一个主元不在第三行而是第二行，第三行已经没有主元了。
==> 消去第二行主元上的所有元素
==> 代表的方程组
而此时，这个解意味着，z任意取值，都能得到一组x,y,z,满足方程组 ==> 方程组有无数组解
高斯-约旦消元法本质上是将增广矩阵 变成了 阶梯型矩阵
定义阶梯型矩阵
==>
-
如果矩阵有全零行，那全零行一定位于矩阵的最底层
- 对于其他非全零行的每一行，其中第一个非零元素（主元）随着行数的不断上升，位置逐渐向右偏
- 非零行的第一个元素（主元）为1
- 主元所在列的其他元素均为0
行最简形式
reduced row echelon form RREF
举例 复杂的行最简形式
满足行最简形式的定义
举例 不是行最简形式
通过行最简形式来理解线性方程组解的结构
-
有唯一解
-
无解
-
有无数解
综上， 系数矩阵的非零行 < 行最简形式非零行 ==> 方程组无解
A非零行 < 未知数个数 ==> 方程组无数解
反例
方程数与未知数不匹配，有唯一解
A非零行 = 未知数个数 ==> 方程组唯一解
反例
方程数与未知数不匹配，有无数解。
直观理解线性方程组解的结构
n个未知数需要有n个方程，才可能有唯一解。
举例 二元一次方程
在二维平面中表示这个方程 ==>
即表示，在这条直线上的任意点都可以满足这个方程。
如果再加上一个方程 ==>
在二维平面中表示这两个方程 ==>
即表示，在这两条直线的交点满足该方程组，有唯一解。
将第二个方程调换 ==>
在二维平面中表示这两个方程 ==>
即表示，这两条直线没有交点，无解。
综上 ==> n个未知数有n个方程 才有可能有唯一解，或是无解。
将上述思路拓展到 三元一次方程中 ==>
将这个方程放到三维空间中 ==>
使用两个三元一次方程联立 ==>
如果这两个平面相交的话，即会有一条直线相交，那这条直接上所表示的所有点，无数个点，都可以满足这两个方程组。
如果两个平面平行，则没有交点，无解。
综上 ==> 如果方程组的个数小于未知数个数，那就一定没有唯一解，或是无解。
引入第三个三元一次方程 ==>
在三个平面都相交的情况下，就可能在两个平面相交的直线上，产生一个三个平面都相交的点，这个点就是唯一解。
==> 在另一种情况下
在这种情况下，三个平面相交的是一条直线，所以有无数解。
在这三个平面平行的情况下，没有交点，无解。
在这种情况下，虽然有平面相交，但是相交的位置没有公共点，相交的位置是平行的，所以无解。
在这种情况下，虽然三个平面两两相交，但是得到的位置是三条平行线，所以无解。
如果再引入一个三元一次方程，即四个三元方程联立会是什么情况呢？
==>
在这种情况下，虽然这四个平面两两相交，但是也没有公共点，这四个平面中间存在一个立体三角形的空间。在不断的调整这个四个平面，使这个个立体三角形不断的缩小，直到只有一个点的时候，此时这个方程组就有了唯一解。
更直观的通过二元方程来看待这个问题 ==>
三个二元方程联立
在这种情况下，没有公共点。只有在新的直线与之前的两个的交点 相交的时候，才有公共点。
当三根直线完全重合时 ==>
此时，这三个二元方程的交点为一条直线，有无数解。
综上，如果方程个数 多于 未知数个数 ⇒ 这个方程可能唯一解、无解、无数解。
这是正常情况下 ==>
在化为行最简形式后 ==>
系数矩阵的非零行 不可能大于 未知数个数
不可能存在这样一个矩阵，在只有三列的系数矩阵中，却有四个非零行，同时还是一个行最简形式。
综上，在行最简式情况下 ==>
而其中，无解的判断非常简单。在增广矩阵的系数矩阵化为行最简形式后，看有没有存在矛盾的行就可以判断了。所以，在行最简形式下可以简化为 ==>
而在 行最简形式A非零行 = 未知数 的时候，此时是不会有无数解的 ==>
因为，行最简形式的定义就说明了，如果系数矩阵的 A非零行 = 未知数 的话，那非零行的系数矩阵 一定是单位矩阵。
==> 系数矩阵的非零行 = 未知数个数 ==> 一定有唯一解
所以，在行最简形式下可以简化为 ==>
这个结论的前提是 系数矩阵化为行最简形式后，不存在矛盾行 。
行最简形式A非零行 < 行最简形式Ab非零行 ==> 无解
更一般的线性系统求解
如果 方程个数 与 未知数个数 不匹配的话，在使用高斯-约旦消元法的时候，会产生什么问题呢，怎样来处理？
举例 五元方程，四个方程组 ==>
执行前向过程 ==>
发现 在第二、三、四行，除了首元素化为了0，第二个元素也都化为了0，没有一个元素可以当作主元，那应该怎么办呢？
> 继续从第三个元素 确定主元> 继续执行前向操作
==> 继续确定第三行主元，但是发现第三行第四列元素为0，并且下面所有的行第四列都为0，所以 第四列找不到主元 ==> 从第五列找主元
==>继续执行前向操作
最终化为 ==>
==> 执行后向操作，第三行主元上面的元素都化为0
==> 第二行主元上面的元素都化为0
==> 行最简形式
对应的方程 ==>
> 变换为以主元的等式方程
即x,z,u符合这个线性方程组的一组解，w，y可以任意取值。> 无数解
含有主元的 称为 主元列。
没有主元的 称为 自由列。
将上述一组解 化为 列向量形式 ==>
从行最简形式 直接读出了 整个线性系统的解。
举例 二元方程，三个方程组 ==>
执行前向操作 ==>
由于 最后一行矛盾 ==> 方程组无解。