经验分布函数 与 bootstrap 方法

1. 经验分布函数

当总体分布函数未知，但样本容量足够大时，可以用经验分布函数替代。经验分布函数的定义为：

设 $X_1$X1​, $X_2$X2​, …, $X_n$Xn​ 为总体分布的一个样本， $-\infty<x<\infty$−∞<x<∞，用 $S(x)$S(x) 表示 $X_1$X1​, $X_2$X2​, …, $X_n$Xn​ 中不大于 $x$x 的随机变量的个数，则定义经验分布函数为 $F_n(x)$Fn​(x) 为：
$F_n(x)=\frac{1}{n}S(x), \quad -\infty<x<\infty$Fn​(x)=n1​S(x),−∞<x<∞

当 $n\rightarrow \infty$n→∞ 时，可以用经验分布函数 $F_n(x)$Fn​(x) 代替总体分布函数$F(X)$F(X)。举例：

2. bootstrap 方法

经常在 spss 中看到这个方法。当总体分布未知时，通过对样本再次抽样，来估计待估参数的误差、置信区间；或者总体分布已知，但是对其中的未知参数估计误差、置信区间，也可以用 bootstrap 方法。

具体可以参看浙大概率课本第十章。