目录
1. 方差的性质
- 性质
1）c是常数，D(c) = 0
2) 设X是随机变量，c是常数，则有 (
)
3) 设X，Y是两个随机变量，则
特别地，若X，Y相互独立，则有
综合上述三项, 设X,Y相互独立, a,b,c是常数,则： (
)
推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况：
4)
- 证明
- 例题
2. 协方差与相关系数
设X, Y是两个随机变量, 则有：
特别地，若X，Y相互独立，则有。即当X与Y相互独立时，有
；当X与Y不相互独立时，
.(X,Y的协方差)
- 定义
数值称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X,Y)，即：
此时D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).
协方差Cov( X ,Y )反映了随机变量X与Y的线性相关性:
1)当Cov( X ,Y )>0时，X与Y正相关。
2)当Cov( X ,Y )<0时，X与Y负相关。
1)当Cov( X ,Y )=0时，X与Y不相关。
- 例题
- 性质
1）Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
2) Cov(X,X) = D(X)
3) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是两个实数
4）
- 相关系数
协方差是有量纲的数字特征，为了消除其量纲的影响，引入一个新概念：
称为随机变量X与Y的相关系数，是没有量纲的。
性质：
3. 不相关与独立
- 定义
若，则称随机变量X与Y不相关或0相关，
随机变量X，Y不相关或0相关的等价条件有：
1）
2)
- 性质
若X与Y相互独立，则X与Y不相关；反之不然。
证明：
4. 矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质
- 矩
- 多元随机变量的数字特征
- n元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示
- n元正态随机变量的四条性质
- 例题