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新坐标系中的3个正面分别看作是旧坐标系中的斜面，应用斜面公式（Cauchy公式），可以导出新旧坐标系中应力分量的变换关系。
[ σ ′ ] = [ β ] [ σ ] [ β ] T (1.20)
[\sigma ^\prime]=[\beta][\sigma][\beta]^T \tag{1.20}
[ σ ′ ] = [ β ] [ σ ] [ β ] T ( 1 . 2 0 )
式中[ β ] [\beta] [ β ]
[ β ] = [ l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 l 3 m 3 n 3 ] [\beta]=\left [ \begin{matrix} l_1 & m_1 & n_1\\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{matrix} \right ] [ β ] = ⎣ ⎡ l 1 l 2 l 3 m 1 m 2 m 3 n 1 n 2 n 3 ⎦ ⎤ [ σ ] = [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] [\sigma]=\left [ \begin{matrix} \sigma_x & \tau_{xy} &\tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{matrix} \right] [ σ ] = ⎣ ⎡ σ x τ y x τ z x τ x y σ y τ z y τ x z τ y z σ z ⎦ ⎤
张量表示为σ m ′ n ′ = β m ′ i β n ′ j σ i j (1.22)
\sigma_{m'n'}=\beta_{m'i}\beta_{n'j}\sigma_{ij} \tag{1.22}
σ m ′ n ′ = β m ′ i β n ′ j σ i j ( 1 . 2 2 ) β n ′ j = e ′ n ′ ⋅ e j \beta_{n'j}=\boldsymbol{e'}_{n'}\cdot \boldsymbol{e}_j β n ′ j = e ′ n ′ ⋅ e j e ′ n ′ \boldsymbol{e'}_{n'} e ′ n ′ e j \boldsymbol{e}_j e j
根据斜面公式，给定一点的应力状态，即σ \sigma σ T ( n ) \boldsymbol{T(n)} T ( n ) n \boldsymbol{n} n T ( n ) \boldsymbol{T(n)} T ( n ) n \boldsymbol{n} n σ \sigma σ
T ( n ) = σ n
\boldsymbol{T(n)}=\sigma \boldsymbol{n}
T ( n ) = σ n
写成分量形式为T x = σ l , T y = σ m , T z = σ n
T_x=\sigma l,T_y=\sigma m,T_z=\sigma n
T x = σ l , T y = σ m , T z = σ n
代入应力分析（1）的公式（1.6）T x = σ x l + τ y x m + τ z x n T y = τ x y + σ y m + τ z y n T z = τ x z + τ y z m + σ z n (1.6)
T_x=\sigma_{x}l+\tau _{yx}m+\tau_{zx}n \\
T_y=\tau_{xy}+\sigma_{y}m+\tau_{zy}n \\
T_z=\tau_{xz}+\tau_{yz}m+\sigma_{z} n \tag{1.6}
T x = σ x l + τ y x m + τ z x n T y = τ x y + σ y m + τ z y n T z = τ x z + τ y z m + σ z n ( 1 . 6 )
整理可得( σ x − σ ) l + τ y x m + τ z x n = 0 τ x y l + ( σ y − σ ) m + τ z y n = 0 τ x z l + τ y z m + ( σ z − σ ) n = 0 (1.23)
(\sigma_x-\sigma)l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n=0\\
\tau_{xy}l+(\sigma_y-\sigma)m+\tau_{zy}n=0 \\
\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+(\sigma_z-\sigma)n=0 \tag{1.23}
( σ x − σ ) l + τ y x m + τ z x n = 0 τ x y l + ( σ y − σ ) m + τ z y n = 0 τ x z l + τ y z m + ( σ z − σ ) n = 0 ( 1 . 2 3 )
式（1.23）是关于l 、 m 、 n l、m、n l 、 m 、 n l 2 + m 2 + n 2 = 1 l^2+m^2+n^2=1 l 2 + m 2 + n 2 = 1 l 、 m 、 n l、m、n l 、 m 、 n ∣ σ x − σ τ x y τ x z τ y x σ y − σ τ y z τ z x τ z y σ z − σ ∣ = 0
\left|
\begin{matrix}
\sigma_x-\sigma &\tau_{xy} &\tau_{xz}\\
\tau_{yx} &\sigma_y-\sigma &\tau_{yz}\\
\tau_{zx} &\tau_{zy} &\sigma_z-\sigma
\end{matrix}
\right |
=0
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ σ x − σ τ y x τ z x τ x y σ y − σ τ z y τ x z τ y z σ z − σ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0
展开可得一个一元三次方程组，该方程数学上称为特征方程σ 3 − I 1 σ 2 + I 2 σ − I 3 = 0 (1.24)
\sigma^3-I_1\sigma^2+I_2\sigma-I_3=0 \tag{1.24}
σ 3 − I 1 σ 2 + I 2 σ − I 3 = 0 ( 1 . 2 4 )
式中I 1 、 I 2 、 I 3 I_1、I_2、I_3 I 1 、 I 2 、 I 3 I 1 = σ x + σ y + σ z = σ k k I 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z − ( τ x y 2 + τ y z 2 + τ z x 2 ) = ∣ σ x τ x y τ y x σ y ∣ + ∣ σ y τ y z τ z y σ z ∣ + ∣ σ z τ z x τ x z σ x ∣ I 3 = σ x σ y σ z − ( σ x τ y z 2 + σ y τ z x 2 + σ z τ x y 2 ) + 2 τ x y τ y z τ z x = ∣ σ x τ x y τ x z τ y z σ y τ y z τ z x τ z y σ z ∣ (1.25)
I_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z=\sigma_{kk} \\
I_2=\sigma_x\sigma_y+\sigma_x\sigma_z+\sigma_y\sigma_z-(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2)\\
=\left|
\begin{matrix}
\sigma_x & \tau_{xy}\\
\tau_{yx} &\sigma_y
\end{matrix}
\right|
+
\left|
\begin{matrix}
\sigma_y & \tau_{yz}\\
\tau_{zy} &\sigma_z
\end{matrix}
\right|
+
\left|
\begin{matrix}
\sigma_z & \tau_{zx}\\
\tau_{xz} &\sigma_x
\end{matrix}
\right|
\\
I_3=\sigma_x\sigma_y\sigma_z-(\sigma_x\tau_{yz}^2+\sigma_y\tau_{zx}^2+\sigma_z\tau_{xy}^2)+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx}
\\=
\left|
\begin{matrix}
\sigma_x & \tau_{xy} &\tau_{xz}\\
\tau_{yz} &\sigma_y &\tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} &\sigma_z
\end{matrix}
\right|
\tag{1.25}
I 1 = σ x + σ y + σ z = σ k k I 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z − ( τ x y 2 + τ y z 2 + τ z x 2 ) = ∣ ∣ ∣ ∣ σ x τ y x τ x y σ y ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ σ y τ z y τ y z σ z ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ σ z τ x z τ z x σ x ∣ ∣ ∣ ∣ I 3 = σ x σ y σ z − ( σ x τ y z 2 + σ y τ z x 2 + σ z τ x y 2 ) + 2 τ x y τ y z τ z x = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ σ x τ y z τ z x τ x y σ y τ z y τ x z τ y z σ z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ( 1 . 2 5 ) I 1 = σ k k I 2 = 1 2 ( I 1 2 − σ i j σ i j ) I 3 = 1 3 ( 3 I 1 I 2 − I 1 3 ) + σ i j σ j k σ k i (1.26)
I_1=\sigma_{kk}\\
I_2=\frac{1}{2}(I_1^2-\sigma_{ij}\sigma_{ij})\\
I_3=\frac{1}{3}(3I_1I_2-I_1^3)+\sigma_{ij}\sigma_{jk}\sigma_{ki} \tag{1.26}
I 1 = σ k k I 2 = 2 1 ( I 1 2 − σ i j σ i j ) I 3 = 3 1 ( 3 I 1 I 2 − I 1 3 ) + σ i j σ j k σ k i ( 1 . 2 6 )
1）极值性
最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的最大（最小）者。
2）主方向互相垂直
3）I 1 、 I 2 、 I 3 I_1、I_2、I_3 I 1 、 I 2 、 I 3
I 1 、 I 2 、 I 3 I_1、I_2、I_3 I 1 、 I 2 、 I 3
在以3个主轴为坐标轴的坐标系下，应力张量可表示为[ σ i j ] = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ]
[\sigma_{ij}]=
\left[
\begin{matrix}
\sigma_1 &0 & 0 \\
0 & \sigma_2 &0 \\
0 & 0& \sigma_3
\end{matrix}
\right]
[ σ i j ] = ⎣ ⎡ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ⎦ ⎤ I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 (1.28)
I_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3\\
I_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\\
I_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3 \tag{1.28}
I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 ( 1 . 2 8 )
设3个主应力及主应力方向已知，求最大剪应力。以3个主方向为其坐标轴方向，其单位矢量是KaTeX parse error: Undefined control sequence: \vect at position 1: \̲v̲e̲c̲t̲{e_1}、\vect {e_… ，如图所示。推导思路：斜面公式–>求极值–>拉格朗日乘子。
该斜面上的应力矢量是T ( n ) = T ( e 1 ) l + T ( e 2 ) m + T ( e 3 ) n = l σ 1 e 1 + m σ 2 e 2 + n σ 3 e 3 (1.29)
\boldsymbol{T(n)}=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{ e}_1)l+\boldsymbol{T}(\boldsymbol{ e}_2)m+\boldsymbol{T}(\boldsymbol{e}_3)n \\=l\sigma_1\boldsymbol{e}_1+m\sigma_2\boldsymbol{e}_2+n\sigma_3\boldsymbol{e}_3 \tag{1.29}
T ( n ) = T ( e 1 ) l + T ( e 2 ) m + T ( e 3 ) n = l σ 1 e 1 + m σ 2 e 2 + n σ 3 e 3 ( 1 . 2 9 )
该斜面上的正应力是σ n = T ( n ) ⋅ n = l 2 σ 1 + m 2 σ 2 + n 2 σ 3 (1.30)
\sigma_n=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{n})\cdot \boldsymbol{n}=l^2\sigma_1+m^2\sigma_2+n^2\sigma_3 \tag{1.30}
σ n = T ( n ) ⋅ n = l 2 σ 1 + m 2 σ 2 + n 2 σ 3 ( 1 . 3 0 ) τ n 2 = ∥ T ∥ 2 − σ n 2 (1.32)
\tau_n^2=\|\boldsymbol{T}\|^2-\sigma_n^2 \tag{1.32}
τ n 2 = ∥ T ∥ 2 − σ n 2 ( 1 . 3 2 )
结果：设σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 \sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 τ m a x = σ 1 − σ 3 2 (1.33)
\tau_{max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} \tag{1.33}
τ m a x = 2 σ 1 − σ 3 ( 1 . 3 3 ) σ 2 \sigma_2 σ 2 σ 3 \sigma_3 σ 3 σ 3 \sigma_3 σ 3 4 5 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
根据式（1.30）和式（1.32），任一斜面上的正应力σ n \sigma_n σ n τ n \tau_n τ n σ n \sigma_n σ n τ n \tau_n τ n σ − τ \sigma - \tau σ − τ
设σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 \sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 τ n 2 + ( σ n − σ 2 + σ 3 2 ) 2 ≥ ( σ 2 − σ 3 2 ) 2 τ n 2 + ( σ n − σ 3 + σ 1 2 ) 2 ≤ ( σ 3 − σ 1 2 ) 2 τ n 2 + ( σ n − σ 1 + σ 2 2 ) 2 ≥ ( σ 1 − σ 2 2 ) 2
\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2})^2\geq(\frac {\sigma_2-\sigma_3}{2})^2\\
\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_3+\sigma_1}{2})^2\leq(\frac{\sigma_3-\sigma_1}{2})^2\\
\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2})^2\geq(\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2})^2
τ n 2 + ( σ n − 2 σ 2 + σ 3 ) 2 ≥ ( 2 σ 2 − σ 3 ) 2 τ n 2 + ( σ n − 2 σ 3 + σ 1 ) 2 ≤ ( 2 σ 3 − σ 1 ) 2 τ n 2 + ( σ n − 2 σ 1 + σ 2 ) 2 ≥ ( 2 σ 1 − σ 2 ) 2 σ n 、 τ n \sigma_n、\tau_n σ n 、 τ n σ − τ \sigma - \tau σ − τ σ 1 、 σ 2 、 σ 3 \sigma_1、\sigma_2、\sigma_3 σ 1 、 σ 2 、 σ 3
一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态之和。静水压力状态是指微六面体的每个面上只有正应力作用，而剪应力为零，正应力大小均为平均应力σ 0 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (1.40)
\sigma_0=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3) \tag{1.40}
σ 0 = 3 1 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ( 1 . 4 0 ) [ σ 0 δ i j ] = [ σ 0 0 0 0 σ 0 0 0 0 σ 0 ]
[\sigma_0\delta_{ij}]=
\left[
\begin{matrix}
\sigma_0 & 0 &0\\
0 & \sigma_0 & 0\\
0 & 0 & \sigma_0
\end{matrix}
\right]
[ σ 0 δ i j ] = ⎣ ⎡ σ 0 0 0 0 σ 0 0 0 0 σ 0 ⎦ ⎤ δ i j \delta_{ij} δ i j σ 0 δ i j \sigma_0\delta_{ij} σ 0 δ i j
偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分，表示为[ s i j ] = [ σ x − σ 0 τ x y τ x z τ y x σ y − σ 0 τ y z τ z x τ z y σ z − σ 0 ] (1.41)
[s_{ij}]=
\left[
\begin{matrix}
\sigma_x -\sigma_0 & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} &\sigma_y -\sigma_0 & \tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} &\sigma_z-\sigma_0
\end{matrix}
\right]
\tag{1.41}
[ s i j ] = ⎣ ⎡ σ x − σ 0 τ y x τ z x τ x y σ y − σ 0 τ z y τ x z τ y z σ z − σ 0 ⎦ ⎤ ( 1 . 4 1 ) s i j s_{ij} s i j
上述的应力分解用张量表示为σ i j = s i j + σ 0 δ i j
\sigma_{ij}=s_{ij}+\sigma_0\delta_{ij}
σ i j = s i j + σ 0 δ i j
任意斜面上的剪应力为零；Mohr应力圆退化为σ \sigma σ
偏应力张量s i j s_{ij} s i j σ i j \sigma_{ij} σ i j s i j s_{ij} s i j s 3 − J 1 s 2 − J 2 s − J 3 = 0 (1.42)
\boldsymbol{s}^3-J_1\boldsymbol{s}^2-J_2\boldsymbol{ s}-J_3=0 \tag{1.42}
s 3 − J 1 s 2 − J 2 s − J 3 = 0 ( 1 . 4 2 ) J 1 = σ x − σ 0 + σ y − σ 0 + σ z − σ 0 = s k k = 0 J 2 = − ∣ σ x − σ 0 τ x y τ y z σ y − σ 0 ∣ − ∣ σ y − σ 0 τ y z τ x y σ z − σ 0 ∣ − ∣ σ z − σ 0 τ z x τ x z σ x − σ 0 ∣ = 1 6 [ ( σ x − σ y ) 2 + ( σ y − σ z ) 2 + ( σ z − σ x ) 2 − 6 ( τ x y 2 + τ y z 2 − τ z x 2 ) ] = 1 2 s i j s i j J 3 = ∣ σ x − σ 0 τ x y τ x z τ y x σ y − σ 0 τ y z τ z x τ z y σ z − σ 0 ∣ = 1 3 s i j s j k s k i (1.43)
J_1=\sigma_x-\sigma_0+\sigma_y-\sigma_0+\sigma_z-\sigma_0=s_{kk}=0\\
J_2=
-\left|
\begin{matrix}
\sigma_x-\sigma_0 &\tau_{xy}\\
\tau_{yz} &\sigma_y-\sigma_0
\end{matrix}
\right|
-\left|
\begin{matrix}
\sigma_y-\sigma_0 &\tau_{yz}\\
\tau_{xy} &\sigma_z-\sigma_0
\end{matrix}
\right|
-\left|
\begin{matrix}
\sigma_z-\sigma_0 &\tau_{zx}\\
\tau_{xz} &\sigma_x-\sigma_0
\end{matrix}
\right| \\
=\frac{1}{6}[(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2-6(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2)]=\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij} \\
J_3=
\left|
\begin{matrix}
\sigma_x-\sigma_0 & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y-\sigma_0 & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} &\sigma_z-\sigma_0
\end{matrix}
\right|
=\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}
\tag{1.43}
J 1 = σ x − σ 0 + σ y − σ 0 + σ z − σ 0 = s k k = 0 J 2 = − ∣ ∣ ∣ ∣ σ x − σ 0 τ y z τ x y σ y − σ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ − ∣ ∣ ∣ ∣ σ y − σ 0 τ x y τ y z σ z − σ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ − ∣ ∣ ∣ ∣ σ z − σ 0 τ x z τ z x σ x − σ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 6 1 [ ( σ x − σ y ) 2 + ( σ y − σ z ) 2 + ( σ z − σ x ) 2 − 6 ( τ x y 2 + τ y z 2 − τ z x 2 ) ] = 2 1 s i j s i j J 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ σ x − σ 0 τ y x τ z x τ x y σ y − σ 0 τ z y τ x z τ y z σ z − σ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 1 s i j s j k s k i ( 1 . 4 3 )
解方程（1.42）可得偏应力的三个主值s 1 = 2 J 2 3 sin ( θ σ + 2 π 3 ) s 2 = 2 J 2 3 sin ( θ σ ) s 3 = 2 J 2 3 sin ( θ σ − 2 π 3 ) (1.44)
s_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left (\theta_\sigma+\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \right)\\
s_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin(\theta_\sigma) \\
s_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin\left( \theta_\sigma-\frac{2\pi}{3}\right)
\tag{1.44}
s 1 = 3 2 J 2 sin ( θ σ + 3 2 π ) s 2 = 3 2 J 2 sin ( θ σ ) s 3 = 3 2 J 2 sin ( θ σ − 3 2 π ) ( 1 . 4 4 ) θ σ \theta_\sigma θ σ θ σ = 1 3 s i n − 1 [ − 27 J 3 2 ( J 2 ) 3 / 2 ] (1.45)
\theta_\sigma=\frac{1}{3}sin^{-1}\left[ \frac{-\sqrt{27}J_3}{2(J_2)^{3/2}}\right] \tag{1.45}
θ σ = 3 1 s i n − 1 [ 2 ( J 2 ) 3 / 2 − 2 7 J 3 ] ( 1 . 4 5 ) σ 1 = 2 J 2 3 sin ( θ σ + 2 π 3 ) + σ 0 σ 2 = 2 J 2 3 sin ( θ σ ) + σ 0 σ 3 = 2 J 2 3 sin ( θ σ − 2 π 3 ) + σ 0
\sigma_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left (\theta_\sigma+\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \right)+\sigma_0\\
\sigma_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin(\theta_\sigma) +\sigma_0\\
\sigma_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin\left( \theta_\sigma-\frac{2\pi}{3}\right)+\sigma_0
σ 1 = 3 2 J 2 sin ( θ σ + 3 2 π ) + σ 0 σ 2 = 3 2 J 2 sin ( θ σ ) + σ 0 σ 3 = 3 2 J 2 sin ( θ σ − 3 2 π ) + σ 0
表示为σ 1 = 2 J 2 3 sin ( θ σ + 2 π 3 ) + σ 0 σ 2 = 2 J 2 3 sin ( θ σ ) + σ 0 σ 3 = 2 J 2 3 sin ( θ σ − 2 π 3 ) + σ 0
\sigma_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left (\theta_\sigma+\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \right)+\sigma_0\\
\sigma_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin(\theta_\sigma) +\sigma_0\\
\sigma_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin\left( \theta_\sigma-\frac{2\pi}{3}\right)+\sigma_0
σ 1 = 3 2 J 2 sin ( θ σ + 3 2 π ) + σ 0 σ 2 = 3 2 J 2 sin ( θ σ ) + σ 0 σ 3 = 3 2 J 2 sin ( θ σ − 3 2 π ) + σ 0
陈明祥. 弹塑性力学[M]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎