概率导论-二-离散随机变量

2.1 随机变量

随机变量：对样本空间里的所有试验结果，都关联着一个特定的数。这种试验结果与数的对应关系形成一个随机变量。将试验结果所对应的数称为随机变量的取值。随机变量是试验结果的一个实值函数。

离散随机变量：随机变量的值域为有限集合或可数无限集合，如{-1, 0, 1}
连续随机变量：随机变量的值域为不可数无限集合，如[-1, 1]上的一个点

2.2 分布列

分布列：离散随机变量的取值概率, $px$px表示随机变量X的分布列，即
$p_X(x) = P(\{X=x\}) \;\;\;\;\; (可简写为P(X=x) )$pX​(x)=P({X=x})(可简写为P(X=x))
(一般用大写字母如X表示随机变量，小写字母如x表示随机变量的取值)
$\sum_x p_X(x)=1$x∑​pX​(x)=1
$P(X\in S)=\sum_{x\in S} p_X(x)$P(X∈S)=x∈S∑​pX​(x)

考虑抛掷硬币的试验，每次抛掷硬币，正面朝上的概率为p, 反面朝上的概率为1-p， 接下来考虑与之联系的随机变量：

2.2.1 伯努利随机变量

伯努利随机变量（与试验结果相映射）
$X= \begin{cases} 1& \text{正面朝上}\\ 0& \text{反面朝上} \end{cases}$X={10​正面朝上反面朝上​

其分布列（与随机变量相映射）
$p_X(k)= \begin{cases} p& \text{k=1}\\ 1-p& \text{k=0} \end{cases}$pX​(k)={p1−p​k=1k=0​

注：这里有两个函数：试验结果–>随机变量； 随机变量–>分布列

2.2.2 二项随机变量

二项随机变量X：n次抛掷得到正面的次数，其参数为n和p
X的分布列 — — 二项概率：
$p_X(k)=P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}, \;k=0, 1, 2,...,n$pX​(k)=P(X=k)=(nk​)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n

2.2.3 几何随机变量

几何随机变量X: 连续抛掷一枚硬币，直到第一次出现正面所需要抛掷的次数
其分布列为：
$p_X(x) = (1-p)^{k-1}p, \;\; k=1,2,...$pX​(x)=(1−p)k−1p,k=1,2,...

2.2.4 泊松随机变量

泊松随机变量的分布列：
$p_X(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k! } ，\;\; k=0,1,2,...$pX​(k)=e−λk!λk​，k=0,1,2,...

泊松随机变量是二项随机变量的逼近
其中$\lambda=np$λ=np且n很大，p很小

例如，n=100, p=0.01，用二项随机变量计算成功次数k=5的概率：
$\frac{100!}{95!5!}\cdot0.01^5(1-0.01)^{95}=0.00290$95!5!100!​⋅0.015(1−0.01)95=0.00290
利用泊松随机变量计算这个概率的近似值：
$e^-1 \frac{1}{5!} = 0.00306 (\lambda=np=100 \cdot 0.01)$e−15!1​=0.00306(λ=np=100⋅0.01)