学习：GloVe模型

模型目标：进行词的向量化表示，使得向量之间尽可能多地蕴含语义和语法的信息。

输入：语料库
输出：词向量

方法概述：首先基于语料库构建词的共现矩阵，然后基于共现矩阵和GloVe模型学习词向量。
学习：GloVe模型

统计共现矩阵

设共现矩阵为X，其元素为 $X_{i,j}$ 。
$X_{i,j}$ 的意义为：在整个语料库中，单词i和单词j共同出现在一个窗口中的次数。
举个栗子：
设有语料库：

i love you but you love him i am sad

这个小小的语料库只有1个句子，涉及到7个单词：i、love、you、but、him、am、sad。
如果我们采用一个窗口宽度为5（左右长度都为2）的统计窗口，那么就有以下窗口内容：
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窗口0、1长度小于5是因为中心词左侧内容少于2个，同理窗口8、9长度也小于5。
以窗口5为例说明如何构造共现矩阵：
中心词为love，语境词为but、you、him、i；则执行：

使用窗口将整个语料库遍历一遍，即可得到共现矩阵X。

使用GloVe模型训练词向量

模型公式

先看模型，代价函数长这个样子：
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$v_i$ ， $v_j$ 是单词i和单词j的词向量， $b_i$ ， $b_j$ 是两个标量（作者定义的偏差项），f是权重函数（具体函数公式及功能下一节介绍），N是词汇表的大小（共现矩阵维度为N∗N）。
可以看到，GloVe模型没有使用神经网络的方法。

模型怎么来的

那么作者为什么这么构造模型呢？首先定义几个符号：
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其实就是矩阵单词i那一行的和；

条件概率，表示单词k出现在单词i语境中的概率；

两个条件概率的比率。
作者的灵感是这样的：
作者发现， $ratio_{i,j,k}$ 这个指标是有规律的，规律统计在下表：

很简单的规律，但是有用。

思想：假设我们已经得到了词向量，如果我们用词向量 $v_i$ 、 $v_j$ 、 $v_k$ 通过某种函数计算 $ratio_{i,j,k}$ ，能够同样得到这样的规律的话，就意味着我们词向量与共现矩阵具有很好的一致性，也就说明我们的词向量中蕴含了共现矩阵中所蕴含的信息。

设用词向量 $v_i$ 、 $v_j$ 、 $v_k$ 计算 $ratio_{i,j,k}$ 的函数为 $g(v_i,v_j,v_k)$ （我们先不去管具体的函数形式），那么应该有：
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即：

即二者应该尽可能地接近；
很容易想到用二者的差方来作为代价函数：

但是仔细一看，模型中包含3个单词，这就意味着要在N∗N∗N的复杂度上进行计算，太复杂了，最好能再简单点。
现在我们来仔细思考 $g(v_i,v_j,v_k)$ ，或许它能帮上忙；

作者的脑洞是这样的：

要考虑单词i和单词j之间的关系，那 $g(v_i,v_j,v_k)$ 中大概要有这么一项吧： $v_i−v_j$ ；嗯，合理，在线性空间中考察两个向量的相似性，不失线性地考察，那么 $v_i−v_j$ 大概是个合理的选择；
$ratio_{i,j,k}$ 是个标量，那么 $g(v_i,v_j,v_k)$ 最后应该是个标量啊，虽然其输入都是向量，那內积应该是合理的选择，于是应该有这么一项吧： $(v_i−v_j)^Tv_k$ 。
然后作者又往 $(v_i−v_j)^Tv_k$ 的外面套了一层指数运算exp()，得到最终的 $g(v_i,v_j,v_k)$ =exp( $(v_i−v_j)^Tv_k$ )；
最关键的第3步，为什么套了一层exp()？

套上之后，我们的目标是让以下公式尽可能地成立：
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即：

即：

即：

然后就发现找到简化方法了：只需要让上式分子对应相等，分母对应相等，即：

然而分子分母形式相同，就可以把两者统一考虑了，即：

本来我们追求：

现在只需要追求：

两边取个对数：
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那么代价函数就可以简化为：

现在只需要在N∗N的复杂度上进行计算，而不是N∗N∗N，现在关于为什么第3步中，外面套一层exp()就清楚了，正是因为套了一层exp()，才使得差形式变成商形式，进而等式两边分子分母对应相等，进而简化模型。

然而，出了点问题。
仔细看这两个式子：
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$log(P_{i,j})$ 不等于 $log(P_{j,i})$ 但是 $v_i^Tv_j$ 等于 $v_j^Tv_i$ ；即等式左侧不具有对称性，但是右侧具有对称性。

数学上出了问题。
补救一下好了。
现将代价函数中的条件概率展开：
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即为:

将其变为：

即添了一个偏差项 $b_j$ ，并将 $log(X_i)$ 吸收到偏差项 $b_i$ 中。
于是代价函数就变成了：

具体权重函数应该是怎么样的呢？
首先应该是非减的，其次当词频过高时，权重不应过分增大，作者通过实验确定权重函数为：
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到此，整个模型就介绍完了。

说明

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