Lengths of Curves in Space

Arc-Length

先介绍一个思想，曲线 $\gamma$ 可以看作是空间中的一个点在时间 $t$ 内的移动轨迹。而点在 $t$ 时刻在空间内的位置 $\gamma{(t)}$ 可以通过向量来表示：
$V = (v_{1},v_{2},\dots,v_{n}) \hspace{1cm} for \ V \in \Re^{n}$
向量长度为：
$\parallel{V}\parallel = \sqrt{(v_{1})^{2} + \dots +(v_{n})^{2}}$
计算曲线 $\gamma(t)$ 的弧长，我们可以借助微分的思想。当 $\delta{t}$ 足够小时，点在 $\delta{t}$ 时间内的运动轨迹（曲线 $\gamma(t)$ 在 $\delta{t}$ 区间内的弧长）可以用一段直线 $\parallel{\gamma{(t+\delta{t})}-\gamma{(t)}}\parallel$ 来替代。 $\delta{t}$ 无限小，这段直线的长度也就无限趋近于曲线 $\gamma(t)$ 在 $\delta{t}$ 区间内的弧长。如下图：

令曲线 $\gamma{(t)}$ 的导数为 $\dot{\gamma}{(t)}$ ， $\delta{t}$ 足够小时， $((\gamma{(t+\delta{t})}) - \gamma{(t)})/\delta{t}$ 近似等于 $\dot{\gamma}{(t)}$ 。所以弧长近似等于
$\parallel{\dot{\gamma}{(t)}} \parallel \delta{t}$
因此曲线 $\gamma{(t)}$ 的长度定义如下：
$\int \parallel{\dot{\gamma}{(t)}} \parallel \delta{t}$

Lengths of Curves on Surfaces

对于一块曲面 $S$ 上的曲线 $\gamma(t)$ 而言，计算其长度的关键依旧在于其导数的计算。不过，我们可以换一种表现形式，可以将曲线在 $p$ 点的矢向量 $\bold{v}$ 分解为曲面 $\sigma(u,v)$ 上 $p$ 点处的切平面 $T_{p}{S}$ 上两个基向量 $\delta_{u}$ 和 $\delta_{v}$ 的线性组合（ $\delta_{u}$ 和 $\delta_{v}$ 不必要正交）。如下图所示：

Lengths of Curves in Space

其中， $\bold{v} = \lambda \delta_{u} + \mu \delta_{v}$ ， $\parallel{\bold{v}} \parallel = (\bold{v} \centerdot \bold{v})^{1/2} = (\lambda^{2}\delta_{u}^2 + \mu^{2}\delta_{v}^2 + 2\lambda\mu\delta_{u}\delta_{v})^{1/2}$ 。即曲面上曲线 $\gamma(t)$ 的长度定义为：
$\int(\lambda^{2}\delta_{u}^2 + \mu^{2}\delta_{v}^2 + 2\lambda\mu\delta_{u}\delta_{v})^{1/2} dt$

令 $E=\parallel \delta_{u} \parallel^{2}$ ， $F=\delta_{u} \delta_{v}$ 和 $G=\parallel \delta_{v} \parallel^{2}$ 。
$<\bold{v},\bold{v}> = \bold{v} \centerdot \bold{v} = \lambda^{2}\delta_{u}^2 + \mu^{2}\delta_{v}^2 + 2\lambda\mu\delta_{u}\delta_{v} = E \lambda^{2} + 2F\lambda \mu + G\mu^{2}$
其中，表达式 $<\bold{v},\bold{v}>$ 和 $E \lambda^{2} + 2F\lambda \mu + G\mu^{2}$ 被称作曲面 $\sigma(u,v)$ 的第一基本形式（First Fundamental Form）。并且，通过观察曲线 $\gamma(t)$ 的长度定义公式，可知其长度由其所在曲面的第一基本形式决定。