四足机器人-CPG控制&Hopf振荡器引入beta参数

一、回顾

我们先来回顾一下hopf振荡器的最初形式：
$\frac{dx}{dt} = \alpha(\mu - r^2)x - \omega y$dtdx​=α(μ−r2)x−ωy

$\frac {dy}{dt} = \alpha(\mu-r^2)y+\omega x$dtdy​=α(μ−r2)y+ωx

在这微分方程组中，我们能够通过$\alpha,\mu, \omega$α,μ,ω三个参数来控制hopf振荡器的动态特性，分别对应收敛速度，幅值，以及周期，其具体公式如下：

• 幅值$A = \sqrt{\mu}$A=μ​
• 周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$T=ω2π​

尽管通过震荡周期可以控制机器人的前进速度，通过幅值来控制关节的活动范围，但这对于我们的四足机器人来说，这可能远远不够用，因为我们可能需要改变机器人的运动步态来适应不同的地形，以及实现更低能耗的运作。

二、引入$\beta$β

首先我们来考虑不同的步态。尽管我们可以通过控制hopf振荡器之间的耦合关系来控制相位，但是如果不对hopf振荡器进行改进的话，就无法单独控制振荡器的输出信号的形状，即上升沿与下降沿所用的时间是一致的，是一个对称的信号。

为了能够对这两者进行单独控制，使其能够适应不同负载因子下的运动模式，对$\omega$ω进行以下改进，引入参数a（定值）和$\beta$β

$\left\{\begin{matrix} \omega =& \frac{\omega_{st}}{e^{-ay}+1} + \frac{\omega_{sw}}{e^{ay}+1}\\ \\ \omega_{st} =& \frac{1-\beta}{\beta} \omega_{sw} \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​ω=ωst​=​e−ay+1ωst​​+eay+1ωsw​​β1−β​ωsw​​

其中$\omega_{sw}, \omega_{st}$ωsw​,ωst​分别表示摆动相和支撑相的频率，$\beta$β为负载因子，用于决定，摆动相和支撑相的比例关系，最终我们的模型如下：

$\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=& \alpha(\mu-r^2)x-\omega y\\ \\ \frac{dy}{dt}=& \alpha(\mu-r^2)y + \omega x\\ \\ r^2= & x^2 + y^2\\ \\ \omega=&\frac{\omega{st}}{e^{-ay}+1}+ \frac{\omega_{sw}}{e^{ay}+1} \\ \\ \omega_{st} =& \frac{1-\beta}{\beta}\omega_{sw} \end{matrix}$dtdx​=dtdy​=r2=ω=ωst​=​α(μ−r2)x−ωyα(μ−r2)y+ωxx2+y2e−ay+1ωst​+eay+1ωsw​​β1−β​ωsw​​

给定参数$\alpha=100, \mu=1, a=50$α=100,μ=1,a=50，分别取$\beta=0.75,0.5$β=0.75,0.5，我们得到图像（x值曲线）

我们将其与$\beta=0.5$β=0.5时的点运动放在一起，看下其点的运动变化：