【计算机组成原理】乘法运算总结

文章目录

• 使用原码并行乘法
• 移位操作
• 正、负数补码(算术)右移的意义
• 定点小数真值和补码的另一关系
• 补码乘法规则
• Booth算法
• 总结

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计算机中实现乘法运算有两种方式, 使用原码实现和使用补码实现.

使用原码并行乘法

使用原码事项乘法的方式, 类似于笔算乘法, 符号位使用异或电路实现.

运算过程: 加法 + 移位

有成熟的末位决定被乘数是否与原部分积相加, 部分积右移移位形成新的部分积. 部分积 就是被乘数乘以乘数积的其中一行.

定义公式:
$[x]_原 = x_0.x_1\ x_2\dots x_n \\ [x]_原 = x_0.x_1\ x_2\dots x_n \\ \therefore [x\cdot y]_原 = (x_0 \oplus y_0)+(x_1 x_2\dots x_n)\cdot (y_1 y_2\dots y_n)$[x]原​=x0​.x1​ x2​…xn​[x]原​=x0​.x1​ x2​…xn​∴[x⋅y]原​=(x0​⊕y0​)+(x1​x2​…xn​)⋅(y1​y2​…yn​)

例1: $A = -0.1101 \quad B=0.1011 $

直接算: $\Rightarrow A \times B=-0.10001111$⇒A×B=−0.10001111

根据公式计算:

$[A]_原 = 1.1101 \quad [B]_原=0.1011$[A]原​=1.1101[B]原​=0.1011

$[x \cdot y]_原 = (1 \oplus 0)+ (0.10001111)= [1.10001111]_原 = -0.10001111$[x⋅y]原​=(1⊕0)+(0.10001111)=[1.10001111]原​=−0.10001111

移位操作

• 逻辑左移(LSL)和逻辑右移(LSR): bit位向左右移, 空出来的使用0补全
• 算术左移(ASL)和算术右移(ASR): 算术左移同逻辑左移; 算术右移, bit位向右移, 空出来的使用符号位补全

第一类移动是将bit位简单移动, 不考虑计算因素, 第二类是在计算中的移位, 在补码运算中意义重大.

正、负数补码(算术)右移的意义

• 正数右移相当于对被操作数进行整除
• 负数右移也是对被操作数进行整除, 需要注意: 如果有余数, 结果-1; 负数整除最大值为-1;

定点小数真值和补码的另一关系

$[X]_补 = X_0.X_1X_2\dots X_n$[X]补​=X0​.X1​X2​…Xn​

$[X]_原 = -X_0 + 0.X_1X_2\dots X_n$[X]原​=−X0​+0.X1​X2​…Xn​

例:

$[1.11]_补 = -1 + 0.11 = -1 + 0.11 = [-0.01]_真$[1.11]补​=−1+0.11=−1+0.11=[−0.01]真​

$[1.1]_补 = -1 + 0.1 = [-0.1]_真$[1.1]补​=−1+0.1=[−0.1]真​

补码乘法规则

设被乘数 $[x]_补 = x_0.x_1 x_2 \dots x_n$[x]补​=x0​.x1​x2​…xn​ , 乘数 $[y]_补= y_0.y_1 y_2 \dots y_n$[y]补​=y0​.y1​y2​…yn​

• 若被乘数任意, 乘数为正
  • 同原码乘法规则, 但加法和移位操作按补码规则运算
  • 乘积的符号自然形成
  • 公式为: $[x \cdot y]_补 = [x]_补 (0.y_1 y_2 \dots y_n)$[x⋅y]补​=[x]补​(0.y1​y2​…yn​) --无需校正
• 拖被乘数任意, 乘数为负
  • 乘数 $[y]_补$[y]补​ , 去掉符号位, 操作同上
  • 运算完成后, 需对结果加 $[-x]_补$[−x]补​ 校正
  • 公式为: $[x \cdot y]_补 = [x]_补 (0.y_1 y_2 \dots y_n) + [-x]_补$[x⋅y]补​=[x]补​(0.y1​y2​…yn​)+[−x]补​

**统一补码乘法公式: ** $[x\cdot y]_补 = [x]_补 (0.y_1 y_2 \dots y_n) + [-x]_补\cdot y_0$[x⋅y]补​=[x]补​(0.y1​y2​…yn​)+[−x]补​⋅y0​

Booth算法

运算规则

• 符号位参与运算, 运算数均以补码表示
• 被乘数一般去双符号位参与运算
• 乘数可取单符号位
• 乘数末位增设附加为$Y_{n+1}$Yn+1​ , 切初值为0
• 操作按下表
• 最后一步无需移位

$Y_n$Yn​	$Y_{n+1}$Yn+1​	操作
0	0	部分积右移移位
0	1	部分积加 $[x]_补$[x]补​ , 右移一位
1	0	部分积加 $[-x]_补$[−x]补​ , 右移一位
1	1	部分积右移一位

运算过程

Booth运算电路逻辑图

总结

计算集中乘法是通过加法实现的, 这里的加法不是简答的累加(例 4*5, 不是把4累加5次), 而是通过移位相加的方式, 通过计算机Booth算法进行乘法运算时最多相加次数为除数位数减1次.