矩阵的相似推导及其意义

前言

  这篇文章从上一篇文章李宏毅《Linear Algebra》学习笔记中单摘出来的一部分，由于上一篇篇幅较长，所以单拿出来记录在这里。
  本文从坐标系 → 函数在不同坐标系的不同表示 来引入similar（相似）的概念。

正文

1.Coordinate System（坐标系）

坐标系就相当于基准，便于将一个向量变得有意义，同一个向量在不同的基准下表示的内容自然不同。
拿下图举例，在左图中表示为$[8\ \ 4]$[8  4]的向量，在右图的坐标系中却被表示为$[6\ \ -2]$[6  −2].

满足下面两条的向量才可以被作为一个坐标系的基准

1. 此向量组$\mathcal{B}$B 张成 $R^n$Rn
2. 此向量组线性无关

将这两个条件结合在一起，不难发现这其实就是子空间的基的定义。因此，子空间的基就是子空间的坐标系的基准。

之所以使用子空间的基作为坐标系的基准，是因为这样才能保证每个向量都有唯一的表示方法。
证明：
假设对每个向量都有两个不同的表示方法，那么将这两种不同的表示方法代入得出的结果应该是相等的，又因为基$\mathcal B$B是线性无关的，当且仅当$a_n=b_n$an​=bn​时成立，因此不存在两种不同的表示。也就是以basis作为基准的坐标系中，每个向量只存在唯一的表示方法。


设$B$B为子空间的基，$[v]_{\mathcal{B}}$[v]B​为笛卡尔坐标系下的$v$v 向量在其他坐标系$\mathcal{B}$B 下的表示。
笛卡尔坐标系与其他坐标系间的转换

（1）其他坐标系 → 直角坐标系：$v=B[v]_{\mathcal{B}}$v=B[v]B​

（2）直角坐标系 → 其他坐标系： $[v]_{\mathcal{B}}=B^{-1}v$[v]B​=B−1v

可以这样类比理解：
$k$k位的$N$N进制转化为十进制需要从低位开始依次用系数乘以$N^k$Nk。
又因为基 $\mathcal B$B 一定线性无关，所以可以用与矩阵的逆相乘的方式求出反向的解。

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2.similar（相似）

这里是以坐标系的变换来引入“相似”这个概念的。
假设在笛卡尔坐标系中的一个点$[x_1\ x_2]$[x1​ x2​]，经过一条已知直线$\boldsymbol L$L 的翻转对应的点为$T([x_1\ x_2])$T([x1​ x2​])，求翻转的线性关系（一个矩阵）。

  对于求一个点关于直线$\boldsymbol L$L 翻转的线性关系，由于这条直线并非$x$x轴或者$y$y轴，因此翻转对应的线性关系很难得出。
  假设我们以$x$x 轴为镜面进行翻转，线性关系是很容易得到的。 因为笛卡尔坐标系可以理解为是二维的单位矩阵：$\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$[10​01​]；翻转后，相当于$x$x轴元素不变，$y$y轴变为$-y$−y，因此线性关系可以表示为：$T=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$T=[10​0−1​].

基于这种思想，可以利用上一小节学到的知识，通过变换坐标系的方法来求解关系$T$T：

1. 将直线$\boldsymbol L$L 作为新的坐标系的$x$x轴，取与之垂直向上的向量作为 $y$y轴，建立新坐标系。
2. 新坐标系下，翻转关系$[T]_{\boldsymbol B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$[T]B​=[10​0−1​]
3. 根据新坐标系下的$[T]_{\boldsymbol B}$[T]B​，求出笛卡尔坐标系的$T$T.

那么，笛卡尔坐标系下的$T$T 应该怎么求呢？下面是分析过程：
  对照下面的图，位于下方的是笛卡尔坐标系，位于上方的是 $\boldsymbol B$B坐标系，笛卡尔坐标系中的$v$v 通过关系$[T]$[T] 变为输出结果$T(v)$T(v).
  对于其他坐标系，在上一小节提到过二者的变换关系，即：$[v]_{\boldsymbol B}={\boldsymbol B}^{-1}v$[v]B​=B−1v，根据这个变换关系，进而求得笛卡尔坐标系到其他坐标系的函数变换。

事实上，$v→T(v)$v→T(v) 与 $v→[v]_{\boldsymbol B}→[T(v)]_{\boldsymbol B}→T(v)$v→[v]B​→[T(v)]B​→T(v) 是殊途同归的，因此，$[T]$[T]可以表示为：
$[T]={\boldsymbol B}^{-1}[T]_{\boldsymbol B}{\boldsymbol B}$[T]=B−1[T]B​B写成一般情况也就是：
$[T]_{\boldsymbol B}={\boldsymbol B}^{-1}{\boldsymbol A}{\boldsymbol B}$[T]B​=B−1AB  不难发现，$[T]_{\boldsymbol B}$[T]B​与$[T]$[T] 虽然所处的坐标系不同，但是它们想要实现的作用是相同的——参考上面的例子，二者均实现翻转的功能。对于这样的变换$[T]$[T]与$[T]_{\boldsymbol B}$[T]B​，就将它们叫做相似（similar）。
  简单地说，一个用来表示某线性变换的矩阵，它的相似矩阵也就是此线性关系在另一个新坐标系中的表示。