伟大的Fourier分析思想与复阻抗

学了交流电路后，许多同学可能会觉得复阻抗这事儿有点玄，认为其不是一个普适的方法，而更倾向于用暴力求解微分方程的方式来分析解决一切问题，但其实不是这样的，为了真正理解复阻抗，首先我们要明白复阻抗这事是怎么来的.
首先，我们认定一般情况下如果我们对一个二端线性网络施加一个单频的余弦电压激励，经过足够长时间后会达到一个稳态，这种状态下网络中的一切量都是余弦变化的且频率与你加的那个一样。这时我们把电流与电压处理成一个正比于eiωt的复数，并定义其比值Z˜=U˜I˜ 为复阻抗.
其次，傅里叶分析告诉我们任意一个函数（除去数学家构造出来的极为特殊的那些），都能表示为许多不同频率正余弦的叠加。
然后，叠加原理告诉我们可以将电压拆成几部分，分别激励电路，将总效果加起来得到真实的电流。
要特别澄清的是对“单频激励”这件事的理解，严格上讲无限长，无头无尾的一列平面波才能叫做真正的单色波，而从里面去掉一段后就不是了，一个形如f(t)=sinω0t，t∈(0,+∞) 的函数仍然可以写成许多角频率在ω0附近的函数的叠加，所以它并不是“最基本的单元”。事实上 .光学上常提到准单色波概念，即像上面那样的f(t) ，波列长度远大于一个波长，已经很接近单色波了，但它还不能叫严格的单色波。
下面图中横轴为频率，纵轴高度代表了此频率成分在函数中所占比例

这张图是对一个振荡了仅2次的正弦函数的频谱分析，可以看出虽然x=±1处有尖锐的突起，但其它频率的成分是不可忽略的。而严格的单色波应当长成下面这个样子。

在x=±1处为无穷大，其余地方为零。

这三件事凑在一起就为我们理解问题提供了一种崭新的思路。有这么几种想法：

1. 对于一个二段网络，可以定义一个Z˜(ω)函数，如果在全频段两个二端网络复阻抗严格相等，我们就认定这两个网络在任何电压输入下得到的电流都是一样的。这方面经典例子比如：

   【28届决赛第七题】
   

   一些同学会十分好奇出题人是怎么看出这个电路可以等效成b图的，其实用刚才的思想很容易有（设电流为I，向右为正,杆位移为x，向下为正）:
   {mx¨=BIl−2kxu−Blx˙=0
   然后假设每个量都处于频率为ω 的状态，故x¨=−ω2x,x˙=iωx，化简得Z˜(ω)=u/I=iωB2l2−mω2+2k，可以看出这恰好等于B2l2iωm与iωB2l2/2k 的并联。（比较有趣的问题是任意给一个多项式之比形式的Z˜(ω)，是否一定可以等效成电阻电感电容三个基本元件的串并联？满足什么条件就能等效？如何等效？请解决了这个问题的同学不吝赐教）

2. 也可以用傅立叶变换无脑查表来求解暂态过程，具体过程比较无趣，简单举个例子：

【国培3.54，第二问】

这个题意为V(t)=Aδ(t)，查表发现可以写成V(t)=12π∫+∞−∞Aeiωtdω，根据叠加原理，I(t)=∫+∞−∞Aeiωt2πZ˜(ω)dω，其中Z˜(ω)=R2iωCR2+1+R1，然后查表求出这个积分，顺利完成此题。