04 ，内积，范数，二维向量夹角推导，三角形边长推导，向量夹角 ：

1 ，内积 ： 代数定义 ( 相乘之后加起来 )

1. 定义 ：
   
2. 总结 ：
   1 ，同维度向量
   2 ，对应项相乘，将结果加起来
3. 内积的 4 种性质 ： 符合加法规律 ( 交换律，结合律，分配率 )
   

2 ，范数 ：

1. 几何意义 ：向量在空间中的距离 ( 大小 )
2. 图示 ：
   

3 ，L1 范数 ： 曼哈顿距离 ( 绝对值求和 )

4 ，L2 范数 ： 欧几里得范数 ( 平方和的开平方 )

5 ，二维向量的夹角 ： 多维可以由此推导出

1. 三角形边长推导 ：已知三边，求底边切分长度( 求 x，y )
   
2. 推导过程 ：
   1 ，x + y = b
   2 ，高的平方 = a2 - x2
   3 ，高的平方 = b2 - y2
   4 ，所以 ： a2-x2 = b2-y2
   5 ，1 和 4 两式联立，得到 x，y
3. 二维向量夹角推导 ：
   

6 ，内积 ： 几何解释 ( 向量夹角 )

1. 意义 ： 向量空间中的角度
2. 向量夹角的余弦 = 内积 / 欧几里得范数