求解单源最短路的Dijkstra算法

文章目录

• 求解单源最短路的Dijkstra算法
• 算法描述
• 解集dist初始化
• 松弛
• 贪心地进行松弛操作
• 伪代码
• 求解单源单汇点
• 未完

求解单源最短路的Dijkstra算法

Dijkstra算法¹，英文为Dijkstra’s algorithm，常被译为迪杰斯特拉算法。该算法由Edsger Wybe Dijkstra²在1956年发现。Dijkstra算法使用类似BFS的方法解决带权无负权图的单源最短路问题。

算法描述

解决单源最短路，便是需要求解图$G$G上某个源点$s$s到其它点$v\in V- \lbrace s \rbrace$v∈V−{s}的权值和最小的路径，这里显然有两个重要求解目标——权值和、路径，这里我们先不考虑具体路径的求解。

解集dist初始化

Dijkstra算法在过程中动态维护解集$dist$dist，其中$dist[i]$dist[i]为当前$s$s到编号为$i$i的点之间的最小权值和。显然在算法开始前，有
$dist[s]=0 \\ dist[v]=\infty$dist[s]=0dist[v]=∞

松弛

Dijkstra的基础操作是松弛。显然对于任意时刻，如果存在一条边$w(u,v)$w(u,v)，使得当前$dist[u]+weight[u][v]<dist[v]$dist[u]+weight[u][v]<dist[v]，则可利用该边，将之前的解路径$path[v]$path[v]优化为$path[u]\rightarrow w(u,v)$path[u]→w(u,v)。

贪心地进行松弛操作

算法维护两个顶点集合$S$S和$Q$Q。集合$S$S保留所有已知实际最短路径值的顶点，而集合$Q$Q则保留其他所有顶点。集合$S$S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从$Q$Q移动到$S$S。这个被选择的顶点是$Q$Q中拥有最小的$dist$dist值的顶点。当一个顶点$u$u从$Q$Q中转移到了$S$S中，算法对$u$u的每条邻边$w(u,v)$w(u,v)进行松弛。

由于初始时$dist[s]$dist[s]为$0$0最小，故第一轮中的松弛其实是将$dist[v]$dist[v]初始化为$weight[s][v]$weight[s][v]，整个算法将进行$n$n轮松弛。也有说法将第一轮松弛作为初始化的一部分，认为$n-1$n−1轮松弛即可得到结果。这是亟需辨析的点。

伪代码

《算法导论》给出了以下伪代码：

求解单源单汇点

显然上述流程中，一旦对汇点$t$t的松弛完成，则意味着最终的$dist[t]$dist[t]已经求得，此时可以终止算法。但该操作并不会降低算法的渐进复杂度，因为该汇点可能在最后一个才被选中进行松弛。

未完

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1. Dijkstra算法（维基百科） ↩︎

2. 艾兹赫尔·迪杰斯特拉（维基百科） ↩︎