读《炫酷反演魔术》有感——各种反演（待填坑）

要以这个开头：

我爱你反演！❤

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以下内容只是为了给自己看
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下面进入正题：

什么是反演

二项式反演

ppt一开始给了一道题目：

这是个很简单的容斥问题：
$F(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\tbinom{n}{k}(n-k)!$F(n)=k=0∑n​(−1)k(kn​)(n−k)!

原文用了和通俗易懂的说法和图来解释这个容斥，风趣幽默，拉近与读者的距离
怎么变成评论文学价值了？

原本用了一些篇幅来写为什么这个容斥系数要么是-1要么是1，这是我从来没有想过的。（菜鸡的微笑）

其实思考一下可以发现，（算了搬原文）


刺不刺激，惊不惊喜！
（菜鸡捂嘴表示惊叹）

这个大哥(叫一声大哥)让我弄懂了出生到现在没有想过的东西！！！！

从另一个角度看上面式子左半边是！
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}=[n=0]$k=0∑n​(−1)k(kn​)=[n=0]

然后用反演思想看一下~
我们设$F(n)$F(n)表示n个人随便站的方案数
$G(n)$G(n)表示n个人没有一个人站对的方案数

那么$F(n)=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n}{k}G(n)$F(n)=k=0∑n​(kn​)G(n)

注意注意！然后要开始反演了！！！！

原文称为"魔术"：

简单易懂的废话：
$G(n)=\sum_{m=0}^{n}[n-m=0]\tbinom{n}{m}G(m)$G(n)=m=0∑n​[n−m=0](mn​)G(m)
一开始我还一脸懵逼，后来发现这个式子等于
$G(n)=G(m)[m=n]$G(n)=G(m)[m=n]

然后上面那个东西用到啦！！
复习一下：
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}=[n=0]$k=0∑n​(−1)k(kn​)=[n=0]
所以代入：
$G(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\tbinom{n-m}{k}\tbinom{n}{m}G(m)$G(n)=m=0∑n​k=0∑n−m​(−1)k(kn−m​)(mn​)G(m)

我一直不知道这个东西$\tbinom{n-m}{k}\tbinom{n}{m}$(kn−m​)(mn​)怎么转换，今天懂了！
等于在n里面选m个数然后在余下的里面再选k个数。
所以等价于：$\tbinom{n}{k}\tbinom{n-k}{m}$(kn​)(mn−k​)

所以原式=
$G(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\tbinom{n}{k}\tbinom{n-k}{m}G(m)$G(n)=m=0∑n​k=0∑n−m​(−1)k(kn​)(mn−k​)G(m)

下面他的操作有点迷：
这东西我愣是没有看懂，后来发现。
假设$k=n-m-p(0\leq p\leq n-m)$k=n−m−p(0≤p≤n−m)
那么$m=n-k-p$m=n−k−p
所以枚举p过程中发现其实上面那条式子就是成立的了。
枚举的每一个k都有所有确定的m=n-k-p与之对应

综上所述，上述式子正确！

$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}\sum_{m=0}^{n-k}\tbinom{n-k}{m}G(m)$G(n)=k=0∑n​(−1)k(kn​)m=0∑n−k​(mn−k​)G(m)

”注意最右边的那个小朋友！其实就是$F$F!“

对比上面F的式子：
$F(n)=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n}{k}G(n)$F(n)=k=0∑n​(kn​)G(n)

发现：
$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\tbinom{n}{k}F(n-k)$G(n)=k=0∑n​(−1)k(kn​)F(n−k)
把下表搞好看点就是
$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\tbinom{n}{k}F(k)$G(n)=k=0∑n​(−1)n−k(kn​)F(k)

这就是著名的二项式反演！
$F(n)=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n}{k}G(n)$F(n)=k=0∑n​(kn​)G(n)$G(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\tbinom{n}{k}F(k)$G(n)=k=0∑n​(−1)n−k(kn​)F(k)

至此，二项式反演告一段落

看到这里我作为菜鸡看得满头大汗！
好的大哥，您成功激起了我对反演的兴趣呢！

莫比乌斯反演

原文叫做：
又是一道题目出来：

还是设！
设 $F(n)$F(n) 表示长度为 $n$n 的字符串的个数。
设 $G(n)$G(n) 表示长度为 $n$n 的且周期为 $n$n 的字符串的个数。

$F(n)=\sum_{d|n}G(d)$F(n)=d∣n∑​G(d)

这就是典型的莫某某反演的形式
然后？

发现我们刚才是怎么搞出二项式反演的？
用一句废话然后带进去不是吗？

在这里我们同样定义：
设$\mu(n)$μ(n)满足
$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$d∣n∑​μ(d)=[n=1]
为什么这次是1？
因为刚刚判断相等是用减法，这次我们用除法，相同的数相除当然是1咯！

又是一句废话开始魔术~
$G(n)=\sum_{m|n}[\frac{n}{m}=1]G(m)$G(n)=m∣n∑​[mn​=1]G(m)

然后顺理成章地代入：
$G(n)=\sum_{m|n}\sum_{d|\frac{n}{m}}\mu(d)G(m)$G(n)=m∣n∑​d∣mn​∑​μ(d)G(m)

再用刚刚的方法，用d把m表示出来，就是$m|\frac{n}{d}$m∣dn​
然后？顺理成章：
$G(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{m|\frac{n}{d}}G(m)$G(n)=d∣n∑​μ(d)m∣dn​∑​G(m)
”$F$F君好久不见~“

$G(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$G(n)=d∣n∑​μ(d)F(dn​)
换一下：
$G(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})F(d)$G(n)=d∣n∑​μ(dn​)F(d)

这样就得到了莫比乌斯反演了~

$F(n)=\sum_{d|n}G(d)$F(n)=d∣n∑​G(d)$G(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})F(d)$G(n)=d∣n∑​μ(dn​)F(d)

后面又一道题目，我是跪着看完的